Integral (1+x)/(1-x) dx

22.11.2008, 19:08

Bath

Integral (1+x)/(1-x) dx

Hey allerseits,

studiere Chemical Engineering und bei einer Problemaufgabe muss das folgende Integral gelöst werden:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x}~\frac{1+x}{1-x}~dx \end{eqnarray*}$

Ich habe schon mit Substitution versucht (u = x-1) und dann das x im Zähler auch durch "1-u" zu ersetzen, aber es scheitert leider daran, dass ich das x, bzw. dann das u nicht im Zähler dastellen kann.
Die Lösung sollte ln (x) enthalten, aber ich kann mir im Moment nicht vorstellen, wie ich dahin kommen kann.

Für einen kleinen Tipp wäre ich sehr dankbar smile

22.11.2008, 19:14

sqrt4

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$\begin{eqnarray*} \frac{1+x}{1-x}=-\frac{1-x-2}{1-x} \end{eqnarray*}$

22.11.2008, 19:28

klarsoweit

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RE: Integral (1+x)/(1-x) dx Lösen

Zitat:

Original von Bath
Ich habe schon mit Substitution versucht (u = x-1) und dann das x im Zähler auch durch "1-u" zu ersetzen, aber es scheitert leider daran, dass ich das x, bzw. dann das u nicht im Zähler dastellen kann.

Das geht damit einwandfrei. Für die Ersetzung von dem x im Zähler kannst du neben dem Tipp von sqrt4 auch einfach deine Substitution nach x umstellen.

Nebenbei: x als Integrationsvariable und als Grenze ist etwas merkwürdig.

22.11.2008, 19:51

Bath

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Hey
ich weiß leider nicht wie ich ein Integral lösen kann, in dem x, bzw. u sowohl im Zähler als auch im Nenner steht.
Guß

22.11.2008, 20:14

klarsoweit

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Mach doch erstmal die Substitution, dann sehen wir weiter.

22.11.2008, 20:21

hallo234

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Also Substitution ist nicht notwendig hier:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \frac{1+t}{1-t}~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{1-x}dx + \int \frac{x}{1-x}dx \end{eqnarray*}$

...

EDIT: zensiert (klarsoweit)

23.11.2008, 11:32

klarsoweit

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@hallo234: deine weiteren Ausführungen habe ich gelöscht. Begründung:

Prinzip "Mathe online verstehen!"

Auch wenn die Substitution auf den ersten Blick nicht erforderlich erscheint, so steckt sie doch implizit in der Bestimmung von $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ .

23.11.2008, 15:23

Bath

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Hey

danke. Habe es dann nochmal mit der Substitution von 1-x = u versucht und bekomme dann folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{b0}^{x}~\frac{-2+u}{u}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{b0}^{x}~\frac{-2}{u} + 1~du \end{eqnarray*}$

=> -2 ln(u) + u
=> -2ln(1-x) + 1-x

Die Integrationsgrenzen sind nicht so wichtig in dem Fall, da es sich nur um ein theoretisches Beispiel handelt.

Würde das soweit stimmen?
Danke

24.11.2008, 08:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bath
Die Integrationsgrenzen sind nicht so wichtig in dem Fall, da es sich nur um ein theoretisches Beispiel handelt.

Dann solltest du diese auch weglassen und das als unbestimmtes Integral rechnen. Ansonsten müßtest du diese bei einer Substitution transformieren. Ansonsten ist das Ergebnis richtig. Allenfalls fehlt noch die Integrationskonstante.

19.12.2013, 23:02

Hilfe12345678

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Hilfe
Kann mir jemand bitte genau erklären wie ich auf die 2 komme??? Ich setzte 1-x=u dass heist mein du= -1, kommt dieses -1 nun in die obere Zeile so dass ich (1-x +2)/(1-x )....

ich verstehe es nach stundenlangem anschauen immer noch nicht

20.12.2013, 08:31

klarsoweit

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Auf was bezieht sich deine Frage? Auf die Gültigkeit dieser Gleichung:

Zitat:

Original von sqrt4
$\begin{eqnarray*} \frac{1+x}{1-x}=-\frac{1-x-2}{1-x} \end{eqnarray*}$

oder auf die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1+x}{1-x}~dx \end{eqnarray*}$ mit der Substitution 1-x=u bzw. x = 1-u ?

Bei letzterem brauchst du nur einsetzen: $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1+x}{1-x}~dx = \int~\frac{1+1-u}{u}~(-1)du = \int~\frac{u-2}{u}~du \end{eqnarray*}$

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