Aussagen

22.11.2008, 19:28

Ferdinand

Aussagen

Guten Abend miteinander!

Hat jemand ein wenig Zeit, um sich die folgenden zwei Aufgaben anzuschauen?

Die Aufgaben lauten:

Für einen Körper K, ein m Element von N, b_i Element K fü 0 <= i <= m, sowie Alpha Element von K und ein r: = $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^m~b_ix^i \in K[x] \end{eqnarray*}$ bezeichne $\begin{eqnarray*} r(\alpha) : = \sum_{i=1}^m~b_i \alpha^i \in K \end{eqnarray*}$ die Auswertung von r und Alpha.

a) Es seien p_1 : = x, p_2 : = x^3 Element von F_3[x] und für i Element von {1, 2} sei f_i: F_3 --> F_3, Alpha --> p_i(Alpha).
Entscheide, ob p_1 = p_2 und ob f_1 = f_2.

Für die Frage p_1 = p_2 habe ich zwei Fälle:

Fall 1: x=0 v x=+/-1 : p_1 = p_2 richtig.
Beweis: 0^1 = 0^3 = 0 = x_1
1^1 = 1^3 = 1 = x_2
-1^1 = -1^3 = -1 = x_3

Fall 2: x nicht 0 und x nicht +/- 1 : p_1 = p_2 falsch!
Beweis: 2^1 nicht gleich 2^3
-2^1 nicht gleich -2^3

Für die Frage f_1 = f_2 würde ich sagen, dass es stimmt...doch wie zeigt man das?

b) Es seien p entweder eine Primzahl oder 0 und ein K jetzt der Körper F_p, falls p eine Primzahl ist, und Q, falls p = 0.
Für n Element von N und für 0 <= i <= n seien a_i Element von K und a: = (a_i) Element K^{n+1} .
Wir definieren einen eingeschränkten Auswertehomorphismus (Einsetzungshomorphismums / Evaluationshomorphismus) an a für Polynome aus K[x]^{<=n} als $\begin{eqnarray*} A_a: K[x]^{\leq n} -> K^{n+1}, q-> (q(a_i))_{0\leq i \leq n} \end{eqnarray*}$
Für welche n in Abhängigkeit von p ist ausgeschlossen, dass A_a eine bijektive, lineare Abbildung ist? Für welche a ist A_a eine bijektive, lineare Abbildung? Gib je ein Beispiel an!

...bei dieser Aufgabe wäre ich um Hilfe sehr dankbar! smile

23.11.2008, 00:40

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aussagen
Zu a):
p1 und p2 sind Polynome und keine Funktionen. Du kannst zwar eine Auswertung definieren, diese hat aber keinen Einfluss auf die Polynome und ist insofern für die Gleichheit zweier Polynome irrelevant. Mit anderen Worten: p1 und p2 sind verschieden, da sie z.B. vor x unterschiedliche Koeffizienten haben. Wenn $\begin{eqnarray*} p_1=\sum_{i=0}^na_ix^i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2=\sum_{i=0}^nb_ix^i \end{eqnarray*}$ sind, so sind sie genau dann gleich, wenn für alle i $\begin{eqnarray*} a_i=b_i \end{eqnarray*}$ ist.
Zum Fall 2 ist anzumerken, dass dieser nicht existiert, da $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$ nur drei Elemente hat: 0,1,-1. in diesem Körper ist 2=-1 und demzufolge auch 2^3=2^1.

Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ sind dagegen einfach nur Funktionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$ und somit genau dann gleich, wenn die Funktionswerte übereinstimmen. Hier kannst Du die Argumentation von oben übernehmen.

Zu b):
Da Du hier noch keine Ansätze oder spezielle Fragen geliefert hast, hier nur ein paar kurze Worte:
Mache Dir zuerst klar, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} A_a \end{eqnarray*}$ immer linear ist. Für vorgegebenes $\begin{eqnarray*} a=(a_0,\ldots,a_n) \end{eqnarray*}$ weist sie ja jedem Polynom $\begin{eqnarray*} q\in K[x] \end{eqnarray*}$ mit Grad(q)<=n das Tupel $\begin{eqnarray*} (q(a_0),\ldots,q(a_n)) \end{eqnarray*}$ zu. Welchem Tupel wird dann ein Polynom p+q zugewiesen?
Wenn Du n und q bestimmen willst, so dass $\begin{eqnarray*} A_a \end{eqnarray*}$ nicht bijektiv ist, schaust Du Dir an, ob es Polynome gibt, für die dieses Tupel immer aus Nullen besteht, das würde dann bedeuten, dass der Kern der Abbildung nicht nur aus dem Nullpolynom besteht.
Nutze dazu a), denn dort wird quasi ein nichttriviales Polynom konstruiert, das auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$ immer den Wert 0 annimmt.

23.11.2008, 02:14

Ferdinand

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aussagen
zu a)
Vielen Dank!
Noch eine kleine Frage: Mit "Argumentation von oben" meinst du meine, die ich zur ersten Teilaufgabe von a angegeben habe?

zu b):
Herzlichen Dank fürs so gut erklären!
Das ist mir nun fast ein wenig peinlich, aber ich blicke bei b) noch immer nicht ganz durch =S

23.11.2008, 02:23

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aussagen
zu a):
Genau. Das was Du unter Fall 1 angegeben hast.

zu b):
Schreib' möglichst alles auf, was Dir dazu einfällt. Stelle genaue Fragen oder beschreibe, wo genau die Probleme liegen. Das macht das Erklären wirklich um ein vielfaches leichter.

Schläfer

23.11.2008, 16:20

Ferdinand

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aussagen
Vielen Dank!

Allora, ich habe mir nun einige Sachen notiert und folgendes raus bekommen:

$\begin{eqnarray*} p + q -> ((p+q)(a_0) + ... + (p+q)(a_n)) \end{eqnarray*}$
Will ich nun das n in Abhängigkeit von p so beschreiben, dass A_a keine bijektive Abbildung ist, so wäre $\begin{eqnarray*} n = \frac{-p}{q} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

23.11.2008, 16:39

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aussagen
Nee, ist wohl auch ein Missverständnis, da hier p doppelt belegt ist. Eigentlich ist p ja die Charakteristik des Grundkörpers K. Was ich meinte, ist, dass Du Dich damit auseinandersetzt, weshalb $\begin{eqnarray*} A_a \end{eqnarray*}$ linear ist. Das dient dazu sich ein wenig mit der Aufgabe auseinanderzusetzen. Dazu sieht man:
$\begin{eqnarray*} A_a(f+g)=((f+g)(a_0),\ldots ,(f+g)(a_n))=(f(a_0)+g(a_0),\ldots ,f(a_n)+g(a_n)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(f(a_0),\ldots ,f(a_n))+(g(a_0),\ldots ,g(a_n))=A_a(f)+A_a(g) \end{eqnarray*}$
Hier habe ich die Polynome mit f ung g bezeichnet, um Verwechslungen auszuschließen. $\begin{eqnarray*} A_a(\lambda f)=\lambda A_a(f) \end{eqnarray*}$ zeigt man analog.

Als nächstes nehmen wir p=3 an, also $\begin{eqnarray*} K=\mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$ und versuchen ein Polynom $\begin{eqnarray*} f\in K[x] \end{eqnarray*}$ zu finden, das für jedes Körperelement den Wert Null annimmt. Dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} A_a(f)=(0,\ldots,0) \end{eqnarray*}$ .

23.11.2008, 17:49

Ferdinand

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aussagen
Ups..scheint wirklich so, als hätte ich es verwechselt --> i'm sorry!

Also heisst das, dass ich für ein Polynom f, das diese Voraussetzungen erfüllt, eigentlich $\begin{eqnarray*} f = \sum_{i=0}^n~-g(a_i) \end{eqnarray*}$ schreiben kann?

23.11.2008, 17:58

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aussagen
Was? Nein, wieso? f und g haben nichts miteinander zu tun. Ich habe lediglich gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} A_a \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung ist.

Du musst den enormen Unterschied verstehen, zwischen einem Polynom $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und einem Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(a_i) \end{eqnarray*}$ , denn das ist ein Körperelement.

23.11.2008, 18:20

Ferdinand

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aussagen
Das war nun ziemlich peinlich...
..es ist richtig, dass ein Polynom an sich eine Zahl oder ein "Ausdruck" sein kann, oder?

Ist es also möglich, dass das gesuchte n entweder grösser als 0 sein muss oder p = 0, damit A_a eine nicht-bijektive Abbildung ist?

...Nach meinem nochmaligen Durchrechnen scheint mir die Lösung eigentlich nicht richtig zu sein, da in der Aufgabe die Abhängigkeit von p betont wird, was hier nicht wirklich der Fall ist... :-S

23.11.2008, 19:00

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aussagen
Ein Polynom aus $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ ist immer nur ein Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^na_ix^i \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_i\in K \end{eqnarray*}$ . Nicht mehr und nicht weniger.
Man kann das Polynom dann auswerten, dann kommen halt "Zahlenwerte" bzw. ja hier Körperelemente raus. Die Funktion $\begin{eqnarray*} A_a \end{eqnarray*}$ tut dies, sie wertet das Polynom f an den Stellen $\begin{eqnarray*} a_0,\ldots,a_n \end{eqnarray*}$ aus.

Zitat:

Ist es also möglich, dass das gesuchte n entweder grösser als 0 sein muss oder p = 0, damit A_a eine nicht-bijektive Abbildung ist?

Wenn Du Ideen hast, dann begründe sie doch bitte. Ich muss irgendwie verstehen was Du machst, sonst kann ich Dir dazu auch nichts sagen. Im übrigen habe ich schon mehrfach geschrieben, was ein erster Lösungsansatz wäre. Du musst Dich nicht daran aufhalten, aber ich muss Dir ja auch nicht helfen.

23.11.2008, 19:39

Ferdinand

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aussagen
Alllll right.
Ok, dann habe ich nun eine relativ dumm klingende Frage:
Angenommen, wir wählen p = 3. Also ist K = F_3.
Wenn ich nun ein f (bzw. ein n) suche, damit jedes Körperelement null wird, rechne ich dann nicht K[x]^{<=n} = 0 und löse dann nach n auf? (wobei K eine beliebige Zahl ist)

Ich glaube, mein Hauptproblem liegt eben darin, dass ich momentan nicht verstehe, wie ich zu diesem f (bzw. n) komme...

23.11.2008, 19:54

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aussagen
Wenn Du sowas wie

Zitat:

rechne ich dann nicht K[x]^{<=n} = 0 und löse dann nach n auf? (wobei K eine beliebige Zahl ist)

schreibst, dann hast Du ein ganz anderes Problem. Du wirst nicht in der Lage sein, ein Ergebnis zu finden, wenn Du nicht einmal die grundlegenen Definitionen beherrschst. K ist ein Körper, K[x]^{<=n} ist ein Vektorraum von Polynomen und was Du geschrieben hast ist so absurd, dass ich Dir leider nur raten kann, Dich vorerst nicht weiter mit dieser Aufgabe, sondern mit Begriffen wie Vektorraum, Körper, Polynomring und Homomorphismen zu beschäftigen.

23.11.2008, 20:11

Ferdinand

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aussagen
Okey, mach ich.

Ich habe noch eine völlig andere Frage:
Ich studiere Mathematik im Hauptfach und habe bald mein erstes Semester hinter mir. Leider bin ich mir aber überhaupt nicht mehr sicher, ob das wirklich was für mich ist, da ich mittlerweile nicht mehr so viel Freude habe wie zu Beginn und ich hin und wieder grosse Probleme habe, eine Aufgabe zu verstehen. Im Nebenfach habe ich noch Informatik und Deutsch, was mir gut gefällt. Später möchte ich Mittelschullehrer werden...eigentlich hätte ich gedacht, in Mathematik und Deutsch, was aber, wenn ich mit Mathematik aufhören würde?
...wie ihr seht, habe ich ein kleines Dilemma..natürlich kann ich mir auch eine völlig andere Studienhauptrichtung vorstellen...hat mir jemand einen Tipp?

Neue Frage »

Antworten »

Aussagen

Verwandte Themen