Differentialgleichungen 1. Ordnung II

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29.08.2006, 22:16	Marleen	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen 1. Ordnung II Eine weitere Aufgabe von Differentialgleichungen 1. Ordnung, kann jemand bitte überprüfen, ob alles richtig gemacht wurde (wahrscheinlich nicht): $\begin{eqnarray} (1+e^x)y \frac{dy}{dx} = e^x \end{eqnarray}$ mit y(0)=1 $\begin{eqnarray} (1+e^x)y dy = e^x dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ydy = \frac{e^x}{1+e^x} dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int~y~dy = \int~ \frac{e^x}{1+e^x}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}y^2 = \log{ (e^x+1 ) } + C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C = 1 - \log{4} \end{eqnarray}$ Ergebnis soll $\begin{eqnarray} 2 e^{ \frac{y^2}{2} } = \sqrt{e} (1+e^x) \end{eqnarray}$ sein. Dankeschön!
29.08.2006, 22:53	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne selbst gerechnet zu haben, würde ich sagen: Nein. Du beginnst zu rechnen, und hörst dann mittendrin auf und gibst ein Ergebnis an. Die Lösung der DGL ist ja eine Funktion y(x) mit y(0) = 1. Wenn du das von dir angegebene Ergebnis nach y auflöst und die AW-Bedingung überprüfst wirst du merken, das es nicht richtig ist. Der Ansatz über Trennung der Veränderlichen ist schon richtig. Ich würde dir raten bestimmte Integrale zu verwenden, also direkt die AWP miteinzubeziehen. Dann erhälst du direkt die zu dem AWP gesuchte Lösung. Wenn du ein ergebnis hast, hast du zwei Möglichkeiten es selber zu prüfen. 1. Prüfe ob deine Lösung die AW-Bedingung erfüllt 2. Setze die Lösung in die DGL ein und prüfe nach.
30.08.2006, 10:05	Marleen	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Frage: Was bedeutet AW-Bedingung? Also wofür steht AW und AWP?
30.08.2006, 10:31	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
AW = Anfangswert AWP = Anfangswertproblem * verschoben *
30.08.2006, 12:06	Marleen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hieße der Ansatz mit dem bestimmten Integral dann so?: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}~y~dy = \int_{0}^{0}~ \frac{e^x}{1+e^x}~dx \end{eqnarray}$
30.08.2006, 13:51	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
nee, das rechte integral wäre ja 0. allgemein sieht es so aus: $\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt} = f(t)g(x) \end{eqnarray}$ nun die bestimmten Integrale: $\begin{eqnarray} \int_{x_0}^{x}~\frac{1}{g(s)}~ds = \int_{t_0}^{t}~f(s)~ds \end{eqnarray}$ dabei ist die Anfangswertbedingung $\begin{eqnarray} x(t_0) = x_0 \end{eqnarray}$ So machst du das nun mit deiner DGL! Der Ansatz ist also: $\begin{eqnarray} \int_{1}^{x}~s~ds = \int_{0}^{t}~\frac{e^s}{1+e^s}~ds \end{eqnarray}$ Dies rechnest du aus, löst nach y auf und fertig ists. Um deine Lösung zu kontrollieren schaust du dir meinen letzten Beitrag nochmal an
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30.08.2006, 15:27	Marleen	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt verstehe ich gar nichts mehr Ich wollte die oben genannte Aufgabe analog zu dieser hier lösen: (ACHTUNG ist eine andere Aufgabe, ich nenn sie hiermit mal Aufgabe B) $\begin{eqnarray} (\frac{1}{y} -y) dy= (\frac{1}{x} + x)dx \end{eqnarray}$ mit y(1)=1 $\begin{eqnarray} \int~(\frac{1}{y} -y)~dy= \int~(\frac{1}{x} + x)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(y) - 0,5y^2 = ln(x) + 0.5x^2 + C \end{eqnarray}$ Einsetzen von y(1)=1; $\begin{eqnarray} ln(1)-0,5 (1)^2 = ln(1) + 0,5(1)^2 +C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C=-1 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} ln(y) - 0,5y^2 = ln(x) + 0.5x^2 - 1 \end{eqnarray}$ Das Ergebnis soll laut Buch richtig sein. Wo ist hierbei der Unterschied?
30.08.2006, 16:02	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
Der unterschied zwischen den Methoden mit bestimmten und unbestimmten Integralen ist minimalen. Bei unbestimmten Integralen also so wie du es geschrieben hast, musst du nur am Ende die Integrationskonstante noch berechnen. Mit bestimmten Integralen erhälst du direkt die passende Form des zugehörigen AWPs. Nun zu Aufgabe B: Steht die Lösung so im Buch? Ich kenne es nur so, das Lösungen als y(x)=... angegeben werden. EDIT: Also ich hab Aufgabe B mal nachgerechnet und bekomme, das selbe Ergebnis.
01.09.2006, 15:51	Ulli	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen 1. Ordnung II Die Konstante C ist nicht richtig. Der richtige Wert für die Konstante C lautet 1/2(1-ln(4)). Die zum Schluß angegebene Lösung stimmt dann allerdings wieder und auch die Anfangswertbedingung y(0) = 1 stimmt, da die linke Seite für x = 0 den Wert 2e^1/2 ergibt und die rechte Seite ebenfalls. Allerdings kann man die angegebene Lösung auch noch explizit nach y auflösen.

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