Abschätzung Reihenrest Eulersche Zahl

22.11.2008, 21:41	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung Reihenrest Eulersche Zahl Die Aufgabe ist die folgende: Sei $\begin{eqnarray} sn := \prod_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e := \lim_{n \to \infty} s_n \end{eqnarray}$ die Euler’sche Zahl. (a) [...] Zeige die Ungleichung $\begin{eqnarray} \|e - s_n\| \leq \frac{1}{n \cdot n!} \, (n \in \mathbb{N}) \end{eqnarray}$ mit Hilfe einer geeigneten geometrischen Reihe. Nun meine Frage: Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich das abschätzen könnte? Meine erste Idee war $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray}$ , aber das hat nicht wirklich funktioniert...
22.11.2008, 21:51	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst sicherlich $\begin{eqnarray} s_n=\sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ . Du kannst zeigen, dass $\begin{eqnarray} s_n=\sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!}\leq 1+\sum_{k=0}^{n-1}~\left(\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray}$ gilt. Darauf kannst du dann die Formel für die geometrische Reihe loslassen. So sollte es klappen.
22.11.2008, 21:58	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Äh ja, meinte ich natürlich. Sorry, dummer Schreibfehler. Danke für deinen Tipp, werde das dann gleich mal ausprobieren... da war ich ja doch schon halbwegs auf dem richtigen Weg...
22.11.2008, 22:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee mit der geometrischen Reihe ist richtig, aber um $\begin{eqnarray} \|e - s_n\| \leq \frac{1}{n \cdot n!} \end{eqnarray}$ nachweisen zu können, muss man die geometrische Reihe mit $\begin{eqnarray} q=\frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ statt die mit $\begin{eqnarray} q=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ bemühen.
22.11.2008, 22:06	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
An kleinen Fehlern erkennt man die Handarbeit Falls du die Abschätzung noch herleiten willst, sie folgt aus $\begin{eqnarray} n!>2^{n-1}\qquad \forall n\geq 3 \end{eqnarray}$ Arthurs Tipp ist natürlich viel besser
22.11.2008, 22:10	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
@Zizou Das hatten wir sowieso schon mal in der Vorlesung bewiesen, deshalb wäre das nicht das Problem gewesen ;-) ... Aber wieso ist $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{n+1}\right)^k \geq \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ ...?
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22.11.2008, 22:17	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das behauptet doch gar keiner! Sondern das: $\begin{eqnarray} k! \geq n! \cdot (n+1)^{k-n} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k\geq n \end{eqnarray}$ Diese Abschätzung ist offensichtlich: Im Fakultätsprodukt $\begin{eqnarray} k! \end{eqnarray}$ werden einfach alle Faktoren größer als $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ nach unten durch $\begin{eqnarray} (n+1) \end{eqnarray}$ abgeschätzt. Und das wird dann bei der Abschätzung des Reihenrestes $\begin{eqnarray} e-s_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ nach oben genutzt.
22.11.2008, 22:23	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso... okay, danke

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