Statistik - Disjunkte Ereignisse

22.11.2008, 23:35

fjordschritt

Statistik - Disjunkte Ereignisse

Nabend, habe mich mal angemeldet, da ich viel Hilfe brauche.

Fange auch gleich mal an:

Also, ich soll begründen, warum die beiden Ereignisse X>X0+e und X<Xo-e disjunkt sind.

Dabei soll X0 der Druchmesser einer Achse sein, die Zufallsvariable X beschriebt den tatsächlichen Durchmesser.

Disjunkt bedeutet ja, dass zwei Ereignisse nicht gleichzeitig eintreten können. Sie haben also keine Teilmenge.

Ich würde hier einfach ganz banal sagen, dass bei dem einen Ereignis X eine andere Zahl annehmen muss, als das zweite Ereignis mit X

Reicht das aber als Antwort?!

22.11.2008, 23:52

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Für $\begin{eqnarray*} e<0 \end{eqnarray*}$ ist die Aussage i.a. falsch, aber vermutlich gilt bei dir sowieso $\begin{eqnarray*} e\geq 0 \end{eqnarray*}$ (auch wenn du es nicht erwähnt hast) - dann trifft das mit der Disjunktheit zu.

P.S.: Mehrfachposten muss nicht sein hier im Board. Bei Fehleinordnung wird schon irgendein Moderator den Thread verschieben.

22.11.2008, 23:56

fjordschritt

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Für $\begin{eqnarray*} e<0 \end{eqnarray*}$ ist die Aussage i.a. falsch, aber vermutlich gilt bei dir sowieso $\begin{eqnarray*} e\geq 0 \end{eqnarray*}$ (auch wenn du es nicht erwähnt hast) - dann trifft das mit der Disjunktheit zu.

P.S.: Mehrfachposten muss nicht sein hier im Board. Bei Fehleinordnung wird schon irgendein Moderator den Thread verschieben.

Oh ja, das habe ich vergessen zu schreiben, das e>0 ist.

Heißt also, meine Begründung ist richtig?! Sollte ja begründen, warum das os ist. Das es disjunkt ist, war durch die Stelung der Aufgabe schon klar geworden.
Das kommt mir alles ein wenig zu knapp vor die Antwort. Aber auf etwas anderes komme ich grad nicht.

Das wusste ich nicht, dass es verschoben werden kann, bitte um Entschuldigung. Werde es das nächste mal so stehen lassen

23.11.2008, 09:47

fjordschritt2

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Weiß wohl niemand so genau?!

Dann gehe ich mal einen Schritt weiter.

Ich soll sagen, was die Vereinigung dieser Ereignisse im Bezug auf die Genauigkeit aussagt.

Meine Antwort wäre, sie drückt aus, das entweder "Ereignis1" oder "Ereignis2" eintritt, aber nicht beide gleichzeitig beschrieben werden. Somit schließen sich beide Ereignisse aus, so ist die Wahrscheinichkeit, dass entweder "Ereignis1" oder "Ereignis2" eintritt, geich der Summe der Wahrscheinlichkeit für "Ereignis1" und "Ereignis2".

Sehe ich das richtig, wird damit die Frage vernünftig beantwortet?!

Danke für Eure Hilfe

PS: Leider wird mit der Zugriff auf meinen Account verweigert, woran liegt das?! Passwort und Benutzername sind richtig! Habe ich etwas falsch gemacht?!

23.11.2008, 11:03

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Zitat:

Original von fjordschritt2
Meine Antwort wäre, sie drückt aus, das entweder "Ereignis1" oder "Ereignis2" eintritt, aber nicht beide gleichzeitig beschrieben werden. Somit schließen sich beide Ereignisse aus, so ist die Wahrscheinichkeit, dass entweder "Ereignis1" oder "Ereignis2" eintritt, geich der Summe der Wahrscheinlichkeit für "Ereignis1" und "Ereignis2".

Sehe ich das richtig, wird damit die Frage vernünftig beantwortet?!

Ja, das ist sie. Die Disjunktheit kann man z.B. auch indirekt begründen:

Aus dem gleichzeitige Eintreten von $\begin{eqnarray*} X>X_0+\varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X<X_0-\varepsilon \end{eqnarray*}$ würde

$\begin{eqnarray*} X < X_0-\varepsilon \leq X_0+\varepsilon < X \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} X<X \end{eqnarray*}$

folgen, was unmöglich ist.

23.11.2008, 11:43

fjordschritt2

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Das ist schon einmal gut, dachte ich rassel ganz am Thema vorbei.

Eine letzte Frage zu der Aufgabe ist, ich soll beantworten, was das Kompement der Vereinigung bedeutet, das heißt

((X>X0+e) + (X<X0+e))^c

Das ^c bedeutet ja, dass die Vorzeichen einmal umgedreht sind, also es so stehen müsste

((X<X0+e) + (X>X0+e))

Das Komplement bedeutet ja in meinen Augen, dass es eine Menge gibt und darin eine enthaltene Teilmenge.

Wie wende ich das aber auf diese Ereignisse an?!
Hebt sich beides auf, dass keine Menge mehr da ist?!

23.11.2008, 12:06

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Moment... du redest vom Komplement folgender Vereinigung:

$\begin{eqnarray*} ([X>X_0+\varepsilon] \cup [X<X_0+\varepsilon])^c \end{eqnarray*}$ ?

Also erstens ist das Komplement der Vereinigung gleich dem Durchschnitt der Komplemente (deMorgan). Und zweiten ist das Gegenteil von > nicht <, sondern <. D.h. es ist

$\begin{eqnarray*} ([X>X_0+\varepsilon] \cup [X<X_0+\varepsilon])^c = [X\leq X_0+\varepsilon] \cap [X\geq X_0+\varepsilon] \end{eqnarray*}$ .

Vereinfacht heißt das ganze natürlich

$\begin{eqnarray*} [X \neq X_0+\varepsilon]^c = [X=X_0+\varepsilon] \end{eqnarray*}$ .

23.11.2008, 12:20

fjordschritt2

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Ja, ich meine dieses

$\begin{eqnarray*} ([X>X_0+\varepsilon] + [X<X_0+\varepsilon])^c \end{eqnarray*}$ ?

Verstehe aber nicht, wie Du dann am Ende auf

$\begin{eqnarray*} [X=X_0+\varepsilon] \end{eqnarray*}$

kommst.

Das meine Aussage falsch war, habe ich ja jetzt verstanden, die Vereinfachung verstehe ich aber nicht.

Kann es mir nur so erklären, dass

$\begin{eqnarray*} \geq und \leq \end{eqnarray*}$ eben = bedeuten.

Da sie ja größer "gleich" und kleiner "gleich"

Sehe ich das richtig?!

23.11.2008, 13:46

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Zitat:

Original von fjordschritt2
Das meine Aussage falsch war, habe ich ja jetzt verstanden, die Vereinfachung verstehe ich aber nicht.

Kann es mir nur so erklären, dass

$\begin{eqnarray*} \geq und \leq \end{eqnarray*}$ eben = bedeuten.

Da sie ja größer "gleich" und kleiner "gleich"

Sehe ich das richtig?!

Das siehst du richtig.

Aber lass das doch bitte endlich mit dem + für Mengenvereinigung, du hast doch spätestens nach meinem Beitrag gesehen, wie das mit dem $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ geht.

23.11.2008, 13:49

fjordschritt

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Gut zu wissen, und ja ich werde mich daran gewöhnen kein + mehr zu schreiben, stand nur so in der Aufgabe, wollte nichts falsch machen Augenzwinkern

Danke nochmal

23.11.2008, 14:03

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Manchmal wird + geschrieben um anzudeuten, dass nicht nur eine Vereinigung, sondern eine disjunkte Vereinigung gemeint ist. Ich halte das für keine so gute Idee - wenn's denn unbedingt sein muss, dann sollte man in diesem Fall eher $\begin{eqnarray*} \uplus \end{eqnarray*}$ schreiben.

23.11.2008, 14:23

fjordschritt

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Ich möchte gleich noch einmal eine andere Form von dieser Rechnung aufschnappen, mit der ich meine Schwierigkeiten habe.
Dabei geht es um paarweise disjunkt.

Bedeutet ja, dass Du eine Menge von Mengen hast. Paarweise disjunkt heißt dann, dass jeweils 2 beliebige davon eine leere Schnittmenge haben.

Kommen wir zu der Fragestellung:
Jede Vereinigung $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i=1}^k~Ai \end{eqnarray*}$ lässt sich als Vereinigung disjunkter Mengen Bi darstellen, bedeutet man findet Mengen Bi mit

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i=1}^k~Ai = \sum_{i=1}^k~Bi \end{eqnarray*}$

Man kann zeigen, dass die Mengen B1=A1, Bn=An - $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i=1}^{n-1}~Bi \end{eqnarray*}$ , für alle n aus Element {2,3,...,k}
diese Forderung erfüllen.

Warum ist aber jetzt die Menge Bi paarweise disjunkt?!
Ich soll zeigen, dass für n<m gilt: Bn(umgekehrtes u)BM = (0 durchstrichen)

23.11.2008, 15:33

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Zitat:

Original von fjordschritt
Warum ist aber jetzt die Menge Bi paarweise disjunkt?!
Ich soll zeigen, dass für n<m gilt: Bn(umgekehrtes u)BM = (0 durchstrichen)

Das folgt doch unmittelbar aus der Konstruktion der Mengenfolge:

$\begin{eqnarray*} B_m = A_n \setminus \left( \bigcup\limits_{i=1}^{m-1} B_i \right) \end{eqnarray*}$

In dieser per Mengensubtraktion abgezogenen Vereinigung $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i=1}^{m-1} B_i \end{eqnarray*}$ ist ja wegen $\begin{eqnarray*} n<m \end{eqnarray*}$ speziell auch $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ enthalten...

24.11.2008, 00:27

fjordschritt

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Hier stellt sich mir auch noch eine Frage

Wenn $\begin{eqnarray*} A_i={\in {1,...,20}} \end{eqnarray*}$ | n ist durch i teilbar; sei
und i={2,3,4,5} ist, dann soll ich B2 bis B5 analog mit dieser Definition bestimmen

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i=1}^k~A_i = \sum_{i=1}^k~B_i \end{eqnarray*}$

Die Definition sagt ja, dass die Summe Bi, die in Ai steckt, gleich groß ist.

Was hat es aber mit B2....B5 auf sich?! Woher nehme ich die?!

25.11.2008, 19:49

fjordschritt

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Zitat:

Original von fjordschritt
Hier stellt sich mir auch noch eine Frage

Wenn $\begin{eqnarray*} A_i={\in {1,...,20}} \end{eqnarray*}$ | n ist durch i teilbar; sei
und i={2,3,4,5} ist, dann soll ich B2 bis B5 analog mit dieser Definition bestimmen

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i=1}^k~A_i = \sum_{i=1}^k~B_i \end{eqnarray*}$

Die Definition sagt ja, dass die Summe Bi, die in Ai steckt, gleich groß ist.

Was hat es aber mit B2....B5 auf sich?! Woher nehme ich die?!

Niemand, der eine Antwort/Hinweis kennt?!

25.11.2008, 20:30

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Wäre schön, wenn du wenigstens in der Wiederholung den groben Schnitzer ausgebügelt hättest: Ich nehme an, es soll eigentlich

$\begin{eqnarray*} A_i= \Big\{ n\in \{1,...,20\} \Bigm| n \;\mbox{ist durch $i$ teilbar} \Big\} \end{eqnarray*}$

heißen. Soll das für alle $\begin{eqnarray*} i=1,\ldots,5 \end{eqnarray*}$ gelten, oder nur für $\begin{eqnarray*} i=2,\ldots,5 \end{eqnarray*}$ , aber was ist dann $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ ? Bitte mal aufklären.

Da $\begin{eqnarray*} A_1 \supset A_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=2,\ldots,5 \end{eqnarray*}$ gilt, ist die "Disjunktifizierung" hier denkbar einfach - man muss sie eben nur buchstabengetreu durchführen, auch wenn das Ergebnis dann etwas seltsam aussehen mag. Augenzwinkern

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