zyklische Einheitengruppen

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prinzschleifer Auf diesen Beitrag antworten »
zyklische Einheitengruppen
Hallo!

Welche der beiden Einheitengruppen sind zyklisch?

Für

Also erstmal zu dem anderen Zeug, dass hilfreich sein könnte:

Nullteiler sind 2,5,8,6,4
Einheitengruppe =


Nullteiler sind 2,4,8
Einheitengruppe =


Gut und zyklisch bedeutet doch jetzt, dass ich ein Element aus der jeweiligen Gruppe rausnehmen kann und mit einem n dieses Element so verknüpfe, dass man dadurch alle darstellen kann. Ich habe so eine für keine gefunden. Stimmt das?

Wie sieht der mathematisch korrekte Beweis für so etwas aus?

Vielen Dank
prinzschleifer
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zu : Betrachte die Potenzen von 3.

Zu :
6,8,10,12,14 gehören da nicht hin; die Einheitengruppe hat genau 8 Elemente. Keines hat die Ordnung 8. Überprüfe das durch Nachrechnen.
prinzschleifer Auf diesen Beitrag antworten »

Zu

Gut, hab jetzt nachgerechnet, mein fehler war, dass ich nicht die vielfachen angeschaut habe, sondern die zahlen zur basis 2 -.-

gut, also bei mir sinds jetzt folgende:
Einheitengruppe:

Und diese kann ich nicht in der Form n, 2n, 3n, 4n mit einem Element dieser Gruppe darstellen, also ist sie nicht zyklisch, oder? Haben dazu leider nicht viel aufgeschriebne, deswegen weiß ich nicht was ich genau zeigen soll.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne die Ordnungen der Elemente. Beispiel: . Modulo 16 gilt



Also hat 3 die Ordnung 4. Und jetzt weise nach, daß kein Element die Ordnung 8 hat.
prinzschleifer Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Ordnung eines Gruppenelements hab ich noch nie gesehen. Und muss auch ehrlich sagen, dass ich es nicht verstehe. Warum muss ich denn zeigen, dass es die 8 nicht überschreitet. Ist es dann zyklisch, warum?

Gibt es auch konvetionelle Methoden?
prinzschleifer Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage, ich glaub ich habs jetzt verstanden, eine Einheitengruppe besitzt gerade die Elemente, die das Einserelement darstellen können, aber dazu muss man doch nicht das Vielfache einer Zahl beachten.

Bei
Einheitengruppen =
kann man zum Beispiel
aber wobei ist.

Was muss ich jetzt genau schauen?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Daß du zeigen sollst, daß eine Gruppe zyklisch ist, aber noch nie von der Ordnung eines Elementes gehört hast, kann ich nicht ganz glauben.
Was heißt es denn, daß eine Gruppe zyklisch ist?
prinzschleifer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wir haben nirgendswo irgendwas von Ordnungen stehen, weder im Skript noch in den Tutorien. Im Script steht nur was über Ordnungsrelationen, was mir hier überhaupt nicht weiterhilft.

Was ich über zyklische Gruppen bisher weiß ist, dass sie die Einheitengruppe durch ein Element aus dem gegebenen Ring ableiten lässt.

Dann hab ich auf Wikipedia das mit den Potenzengehört. Man soll ich also ein Element raussuchen und gucken ob sich dadurch die Einheitenelemente darstellen lassen..

Bei finde ich da keinen, heißt das, dass es nicht zyklisch ist. Find ich ziemlich schwach sowas, nur das man es nicht findet heißt ja nicht das es nicht gibt.

Bin mal wieder verwirrt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dann machen wir das jetzt ausführlich mit der Gruppe als der Einheitengruppe im Ring . Die Elemente von sind Restklassen. So steht etwa für die Restklasse, in der liegt. Diese wird auch von jeder anderen Zahl erzeugt, die modulo den Rest läßt:



Und jetzt zeigen wir, daß das Element die Gruppe erzeugt. Damit ist gemeint, daß man jedes Element der Gruppe erhält, wenn man nur immer wieder mit dem Element multipliziert, wenn man also genauer "Potenzen" bildet:

(definitionsgemäß für die Hochzahl 0)

(definitionsgemäß für die Hochzahl 1)





Wie du siehst, ist jedes Element von eine Potenz von . Damit ist zyklisch und ein erzeugendes Element. Die Aufgabe ist gelöst. (Zusatzfrage: Wird auch noch einem anderen Element erzeugt?)

Wenn man jetzt einen Schritt weiter geht, erhält man:



ist damit die kleinste positive ganze Zahl mit . Und diese Zahl nennt man die Ordnung des Elementes . Zu sagen, hat die Ordnung , ist daher dasselbe wie zu sagen, die vierelementige Gruppe wird von erzeugt.
prinzschleifer Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, vielen Dank für eine solch ausführliche Antwort.

Zur Zusatzfrage:


ist auch ein erzeuger der Gruppe.








usw.

An diesem Beispiel sieht man auch, dass die Ordnungszahl wieder 4 ist.

Wie oft muss man das zeigen? Nur für einen Zyklus, ich denk aber mal, dass das für meine Aufgabe ausreicht.

Gut, jetzt zur 2. Teilaufgabe:


Du hast mir vorhin einen Tipp gegeben, also man geht einfach die Elemente durch und zeigt, dass man dadurch nicht die Gruppe erzeugen kann. Also das wäre dann die Bruteforce varianten nehm ich mal an.

Soweit hab ich alles richtig verstanden, oder? Denn dann wäre die Aufgabe zwar einiges an Schreibarbeit, aber aufjedenfall machbar :P
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das wäre brute force, solange man nicht irgendwelche zahlentheoretischen Erkenntnisse einsetzen will. Aber man kann die brute force ein bißchen "debrutalisieren", wenn man etwas Gruppentheorie investiert. Danach ist die Ordnung eines Elementes immer ein Teiler der Gruppenordnung. Da die Einheitengruppe modulo 16 gerade 8 Elemente besitzt, kommen für die Ordnung eines Elementes nur die Zahlen 1,2,4,8 in Frage. Da die Teilerkette besteht, mußt du eigentlich nur für jedes Gruppenelement nachweisen. Dann kann kein Element die Ordnung 8 haben, die Gruppe also nicht zyklisch sein.
prinzschleifer Auf diesen Beitrag antworten »

Wieder ein großes vielen Dank! Was man nicht alles lernt smile

Gut, noch eine Frage.

Es sei ein Ring mit Eins. Die Einheitengruppe von R sei .

Ich soll zeigen, dass wenn S ein weiterer Ring mit 1 ist und ein Ringhomomorphismus, dass in abgebildet wird. Oder:

So, das sieht mir aus wie eine Implikation?

A :=
B :=



Also nehm ich A als wahr an und zeige das daraus die Wahrheit der Aussage b folgt?
Wie muss ich weiter vorgehen, muss ich die Ringhomomorhpismusdefinitionen zu Rate ziehen?
prinzschleifer Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich dann folgendes zeigen:



Ich steh hier grad ziemlich auf dem Schlauch. Eine kleine Hilfe, bitte? smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Manchmal ist es hilfreich, wenn man eine Mengeninklusion in Worte faßt:



bedeutet ja in Worten: Ist Einheit von , so ist Einheit von .

Jetzt gehe von einer Gleichung in aus und "lifte" sie mittels nach . Da ist eigentlich nicht viel zu zeigen. Verwende, daß ein Homomorphismus ist
Jeba Auf diesen Beitrag antworten »
Algebra/Einheitengruppe
Hallo,
ich habe soeben diese Aufgabe gelöst, denke ich jedenfalls. Mich verunsichert jetzt diese Bemerkung, dass nicht zyklisch sein soll, da ich 15 als Erzeuger der Gruppe gefunden habe.

Ist meine Lösung falsch, oder diese hier?

Wäre dankbar für eine Antwort, da ich nächste Woche Prüfung habe..

Grüsse
Jeba
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist 15 = -1 und damit hat 15 die Ordnung 2, ist also kein Erzeuger
Jeba Auf diesen Beitrag antworten »

aber ist nicht auch ?

dann hätte 15 ordnung acht und wäre somit Erzeuger der Gruppe. Was ist falsch an meinem Gedankengang...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Für alle Elemente g der Einheitengruppe gilt g^8 = 1. Es muss auch g^4 != 1 gelten
Jeba Auf diesen Beitrag antworten »

okay, danke. Hammer ja, das habe ich doch auch schon irgendwo gelesen!! das macht die weiteren Schritte jedenfalls einfacher. Wenn diese Gruppe nicht zyklisch ist und 3 Elemente die Ordnung 4 und 4 Elemente die Ordnung 2 haben, ist diese Gruppe isomorph zu x

Habe ich das jetzt richtig verstanden?

danke dir
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

ja
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