Kurvendiskussion

23.11.2008, 13:07

Dalice66

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Kurvendiskussion

Moin Leute,
ich soll eine Kurvendiskussion durchführen. Da das schon lange her ist, brauche ich ein wenig Hilfestellung:

Um die Extrempunkte eines Graphen durchzuführen, weiß ich noch, dass die Gleichung einmal abgeleitet wird und dann nullgesetzt werden muss.

$\begin{eqnarray*} f(x)=-x^4+2x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-4x^3+4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-4x^3+4x|:-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-4(x^3-x) \end{eqnarray*}$

Das heißt doch, dass der Graph bei x=0 die Extrempunkte hat, oder?

Symmetrie:

Der Graph ist Y-Achsen symmetrisch

Schnittpunkte mit den Achsen:

Der Graph schneidet die X-Achse bei 0 und die Y-Achse bei 2

23.11.2008, 13:13

klarsoweit

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RE: Kurvendiskussion

Zitat:

Original von Dalice66
$\begin{eqnarray*} 0=-4x^3+4x|:-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-4(x^3-x) \end{eqnarray*}$

Das heißt doch, dass der Graph bei x=0 die Extrempunkte hat, oder?

Von der ersten zur zweiten Gleichung hast du nur -4 ausgeklammert, aber nicht durch -4 dividiert.
Wie dem auch sei. Neben x=0 gibt es noch weitere Nullstellen. Und es heißt erstmal nur, daß da möglicherweise Extremstellen sind. Überpreüfen mußt du das noch mit der zweiten Ableitung.

Und weil das Schulstoff ist, kommt es auch dahin.

23.11.2008, 13:17

Zizou66

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-x^4+2x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-4x^3+4x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=-4x^3+4x|:-4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=-4(x^3-x) \end{eqnarray*}$

Sieht bis dahin ganz gut aus. Danach wird es aber sehr schwach.

Wie macht man sowas noch?
Zuerst mal dividiert man die -4 weg:

$\begin{eqnarray*} x^3-x=0 \end{eqnarray*}$

Dann x ausklammern

$\begin{eqnarray*} x(x^2-1)=0 \end{eqnarray*}$

"Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn einer der Faktoren null ist". Das jetzt anwenden und darauf achten, dass in der Klammer die 3. binomische Formel angewendet werden kann...
Du solltest du 3 Kandidaten für Extrempunkte kommen.

Damit ist allerdings noch längst nicht gezeigt, dass an den Stellen auch wirklich ein Extremum vorliegt, dafür muss du noch das hinreichende Kriterium zeigen.

Die Angabe der Nullstellen ist auch nicht korrekt. Hier gibt es auch wieder 3 (eine ist doppelt) und der Schnitt mit der y-Achse ist auch nicht richtig. Was ist f(0)?

Edit: Viel zu langsam... geschockt

geschockt

23.11.2008, 13:33

Dalice66

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Joo,
habe mich teilweise verschrieben...

$\begin{eqnarray*} 0=-4x^3+4x|:-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x^3-x \end{eqnarray*}$

Auskammern

$\begin{eqnarray*} 0=x(x^2-1) \end{eqnarray*}$

"Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn einer der Faktoren null ist".

Bedeutet dann im Umkehrschluss, dass ich für X=0 einsetzen muss

$\begin{eqnarray*} 0=0(0^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=0-1*0+1 \end{eqnarray*}$

23.11.2008, 13:47

Zizou66

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klarsoweit scheint gerade nicht da zu sein, daher mache ich mal weiter.

Also wir haben nun das hier:

$\begin{eqnarray*} x(x^2-1)=0 \end{eqnarray*}$

So nun hast du versucht die o.g. Regel anzuwenden. Allerdings leider falsch. Es ist nicht gemeint, dass man für x=0 einsetzt, sondern, dass man überprüft wann einer der Faktoren gleich null ist.
Also

$\begin{eqnarray*} x=0 \lor x^2-1=0 \end{eqnarray*}$

So, jetzt aber Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.11.2008, 14:11

Dalice66

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Joo,

$\begin{eqnarray*} 0=0(0^2-1)\Rightarrow x_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-1=0\Rightarrow x_2=1, x_3=-1 \end{eqnarray*}$

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23.11.2008, 14:17

Zizou66

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Zitat:

Original von Dalice66
Joo,

$\begin{eqnarray*} 0=0(0^2-1)\Rightarrow x_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-1=0\Rightarrow x_2=1, x_3=-1 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du in der zweiten Zeile darauf, dass daraus folgt, dass x=0 eine Möglichkeit ist. Das ist mir absolut schleierhaft...

Auf jeden Fall hast du nun die möglichen Extremstellen bestimmt. Wie lautet dein hinreichendes Kriterium? Ist es für alle Kandidatenstellen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ erfüllt?

23.11.2008, 14:52

Dalice66

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Joo,

hätte ich nun bei $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ weitergerechnet,hätte da 0 rauskommen müssen...

Ich weiß jetzt noch nicht, ob es sich um einen Extrempunkt oder eine Sattelstelle handelt, also muss ich weiterrechnen...

"Eine Stelle mit der Steigung 0 könnte auch ein Sattelpunkt sein. Das Standardbeispiel für einen Sattelpunkt ist f(x) = x3 an der Stelle 0. Die Tatsache, dass eine Kurve an einer Stelle xE die Steigung 0 hat, ist notwendig dafür, dass dort ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt. Diese Tatsache ist nicht hinreichend - das heißt nicht ausreichend - für das Vorliegen einer Extremstelle."

Darum besteht die hinreichende Bedingung für Extremstellen aus zwei Teilen:

$\begin{eqnarray*} 1. f '~ (x_E) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2. f ''~ (x_E) \neq 0. \end{eqnarray*}$

Die zweite Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=12x^2+4|:12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x^2+\frac{1}{3}| \sqrt{.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{3} }=x \end{eqnarray*}$

"Der $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ -Test: Mit Hilfe der zweiten Teilbedingung oben lassen sich aus der Menge der Stellen mit waagerechter Tangente die Hoch- und die Tiefstellen ermitteln: Ist die zweite Ableitung größer 0, handelt es sich um eine Tiefstelle, ist sie kleiner als 0, handelt es sich um eine Hochstelle."

Dann habe ich also keine Sattelstelle....

23.11.2008, 15:00

Zizou66

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Also hast du die hinreichende Bedingung für ein Extremum:

f'(x_0)=0 \land f''(x_0)\neq 0 . Das musst du nun für alle Kandidaten testen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=12x^2+4|:12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=x^2+\frac{1}{3}| \sqrt{.} \end{eqnarray*}$

Ich habe echt keine Ahnung, was du hier rechnest.

Wenn du im ersten Schritt auf beiden Seiten durch 12 teilen willst sollte nachher

$\begin{eqnarray*} \frac{f''(x)}{12}=x^2+\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

stehen. Und das ist doch echt nicht das, was wir sehen wollen.
Du solltest viel mehr für dein $\begin{eqnarray*} x_E \end{eqnarray*}$ oder wie du es nennen magst einsetzen.

Also $\begin{eqnarray*} f''(0),f''(1)\quad \text{und}\quad f''(-1) \end{eqnarray*}$ berechnen. Bekommst du das hin?

23.11.2008, 15:07

Dalice66

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Ganz ehrlich,
ich weiß auch nicht, was ich hier rechne...ich versuch mich aber weiterhin verwirrt

verwirrt

23.11.2008, 15:12

Zizou66

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Um mal ein bisschen Struktur reinzubringen, du musst einfach nur für die Stellen, die das notwendige Kriterium $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ erfüllen prüfen, ob sie auch die hinreichende Bedingung erfüllen.

Wenn du also irgendeine Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=a \end{eqnarray*}$ rausbekommst, berechnest du nachher $\begin{eqnarray*} f''(a) \end{eqnarray*}$ .

Wie ich gerade sehe ist deine zweite Ableitung übrigens falsch. Sie müsste lauten $\begin{eqnarray*} f''(x)=-12x^2+4 \end{eqnarray*}$

Wenn man hier nun a einsetzt folgt:

$\begin{eqnarray*} f''(a)=-12a^2+4 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe jetzt klappts....

23.11.2008, 15:52

Dalice66

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Ich habe mir erstmal den ersten Schnittpunkt nochmal vorgenommen...

$\begin{eqnarray*} f_{(0)}=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{(0)}=-4x^3+2x^2\Rightarrow y=0 \end{eqnarray*}$

Der Schnittpunkt mit der Y-Achse liegt im Ursprung.

Darf ich jetzt, um an die anderen Schnittpunkte zu kommen, ableiten?

Dann hätte ich

$\begin{eqnarray*} 0=-4x^3+4x|:-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x^3-x, 0=x(x^2-1) \end{eqnarray*}$

23.11.2008, 16:03

Zizou66

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Sprechen wir immer noch von der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^4+x^2 \end{eqnarray*}$ ?
Auch auf sowas musst du achten, selbst wenn der Schnittpunkt der gleiche bleibt.

Ich weiß nicht, wieso du mehrere Schnittpunkte mit der y-Achse berechnen willst. Eine Funktion hat an einer Stelle einen eindeutig zugewiesenen Funktionswert, sonst wäre es keine Funktion (zumindest in der Schulmathematik).

23.11.2008, 16:15

Dalice66

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Ja,
aber es gibt doch einen Schnittpunkt mit der Y-Achse und einen mit der X-Achse und wenn ich den Schnittpunkt mit der Y-Achse haben will, muss die Formel doch lauten:

$\begin{eqnarray*} f_{(0)}=y \end{eqnarray*}$

und der mit der X-Achse

$\begin{eqnarray*} 0=-x^4+2x^2 \end{eqnarray*}$

und meine Frage bezog sich nun darauf, ob ich bei

$\begin{eqnarray*} 0=-x^4+2x^2 \end{eqnarray*}$

um den Schnittpunkt mit der X-Achse zu bekommen, ableiten darf.

23.11.2008, 16:33

Zizou66

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Gut, es ist deinem Beitrag leider nicht zu entnehmen, dass du nachher von den Nullstellen sprichst.
Wieso wilslt du denn da ableiten? Was soll dir das bringen, mach dir mal die Bedeutung der Ableitung als Steigung klar...

Du kannst hier wieder etwas ausklammern. Mehr sag ich nicht.

23.11.2008, 18:53

Dalice66

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Joo,
ok, wenn ich ableite, dann habe ich keine Parabel mehr, sondern eine Gerade, soviel ist schon mal sicher.
Ich habe mal -x² ausgeklammert und komme dann auf

$\begin{eqnarray*} 0=-x^2(x^2-2) \end{eqnarray*}$

Nun komme ich aber nicht weiter.

Wenn ich nur -x ausklammere, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} 0=-x(x^3-2x) \end{eqnarray*}$

Das hilft mir auch nicht wirklich, da P/Q-Formel bei beiden nicht funzt und ich nicht weiß, wie ich die Formel

$\begin{eqnarray*} 0=-x^2(x^2-2) \end{eqnarray*}$

in ein Binom umwandle.

23.11.2008, 20:40

Zizou66

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Wir hatten oben schon mal einen ganz ähnlichen Fall! Erinnerst du dich noch? Das Vorgehen hier ist wieder exakt dasselbe.

Ein Produkt ist gleich null, wenn einer der Faktoren null ist.

24.11.2008, 23:38

Dalice66

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Hi,
also muss ich gar nicht mehr weiterrechnen, da die Faktoren bei dem Produkt 0 in DIESER Aufgabe auch nur 0 sein können. Somit ist die Antwort der Aufgabe in der Formel

$\begin{eqnarray*} 0=-x^2(x^2-2) \end{eqnarray*}$

schon enthalten...

Reicht es denn in der Klausur, als Antwort zu schreiben:

$\begin{eqnarray*} 0=-x^2(x^2-2)\Rightarrow x_1=0 \end{eqnarray*}$ ?

25.11.2008, 08:10

klarsoweit

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Ein schlichtes nein.

Frage 1: aus welchen Faktoren besteht das Produkt?
Frage 2: wann sind diese Faktoren Null?

25.11.2008, 09:14

Dalice66

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....

$\begin{eqnarray*} 0=-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=(x-2)^2 \end{eqnarray*}$

Das sind die beiden Faktoren, aus denen sich das Produkt zusammensetzt...

Diese Faktoren sind null, wenn das Produkt, wie in diesem Fall, 0 ist.

25.11.2008, 09:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dalice66
Diese Faktoren sind null, wenn das Produkt, wie in diesem Fall, 0 ist.

Genau genommen: wenn das Produkt Null ist, dann ist mindestens einer der Faktoren Null. Und welche x ist das jetzt der Fall?

EDIT: es muß x² - 2 = 0 heißen, nicht (x - 2)² = 0.

25.11.2008, 10:15

Dalice66

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...

$\begin{eqnarray*} 0=-x^2 \end{eqnarray*}$

25.11.2008, 10:23

klarsoweit

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Da hast du nur eine der beiden Gleichungen wiederholt. Aber welche x-Werte erfüllen nun die eine oder die andere Gleichung?

25.11.2008, 10:57

Dalice66

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ok,
der erste x-Wert

$\begin{eqnarray*} 0=-x^2 \end{eqnarray*}$

kann nur 0 sein...

der zweite x-Wert

$\begin{eqnarray*} 0=(x-2)^2|\sqrt{..} ,+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$

25.11.2008, 11:03

klarsoweit

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OK. Wobei ich kein großer Freund der Wurzel-Zieh-Umformung bin. Wurzeln ziehen ist bis auf eine Ausnahme (und die war hier gerade) keine Äquivalenzumformung. Auch hier hilft die einfache Regel, daß ein Produkt nur dann Null ist, wenigstens einer der Faktoren Null ist.

25.11.2008, 11:29

Jacques

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Hallo,

Aber der zweite Faktor war doch x² - 2, nicht (x - 2)².

25.11.2008, 11:39

klarsoweit

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Verflixt. Da hat Dalice66 das falsch abgeschrieben und ich habe es nicht gesehen. Hammer

Hammer

25.11.2008, 22:45

Dalice66

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upps,
ich hatte mich tatsächlich verschrieben...

$\begin{eqnarray*} 0=x^2-2|+2,\sqrt{..} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Mir fällt gerade ein, kann man nicht auch substituieren und dann mit einer PQ-Formel arbeiten?

$\begin{eqnarray*} f_{(x)}=-x^4+2x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{(x)}=-z^2+2z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P=2,Q=0 \end{eqnarray*}$

26.11.2008, 07:17

Jacques

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Zitat:

Original von Dalice66

$\begin{eqnarray*} 0=x^2-2|+2,\sqrt{..} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Und was ist mit der zweiten Lösung $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ? Soweit ich gesehen habe, ist ganz R die Definitionsmenge der Funktion, also zählt auch diese Lösung.

Du musst beim Wurzelziehen aufpassen, dass Du auch korrekt umformst und keine voreiligen Vereinfachungen machst:

Es gilt

$\begin{eqnarray*} x^2 = 2 \ \Longleftrightarrow\ \sqrt{x^2} = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Das ist soweit klar. Allerdings ist beim Ausrechnen der Wurzel aus x² Vorsicht angesagt: Das Ergebnis ist nicht wieder x, sondern |x|. Also geht es folgendermaßen weiter:

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow\ |x| = \sqrt{2}\ \Longleftrightarrow\ x = +\sqrt{2}\ \vee\ -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Du kannst natürlich auch direkt das folgende Schema anwenden:

$\begin{eqnarray*} x^2 = a \ \Longleftrightarrow\ x = +\sqrt{a}\ \vee\ x = -\sqrt{a} \end{eqnarray*}$

Also rechne weniger nach Gefühl und mehr nach Regeln, sonst lässt Du die Hälfte der Lösungen unter den Tisch fallen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.11.2008, 08:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dalice66
$\begin{eqnarray*} 0=x^2-2|+2,\sqrt{..} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Ich hatte in einem früheren Beitrag schon geschrieben, daß Wurzelziehen keine Äquivalenzumformung ist. Und jetzt machst du es prompt wieder. unglücklich

unglücklich

Dadurch verlierst du einfach eine Lösung.

26.11.2008, 08:14

Dalice66

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Hi,

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow |x|= \sqrt{2} \Longleftrightarrow x=\sqrt{2}\vee \sqrt{-2} \end{eqnarray*}$

ist verständlich...

Somit habe ich drei Nullstellen...

$\begin{eqnarray*} 0=-x^2, x_1=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 0=(x^2-2), x_2=\sqrt{2}, x_3= \sqrt{-2} \end{eqnarray*}$

26.11.2008, 08:51

Jacques

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Bitte genau lesen: Ich habe geschrieben

$\begin{eqnarray*} x^2 = 2 \ \Longleftrightarrow\ x = +\sqrt{2} \ \vee\ x = -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Von $\begin{eqnarray*} \sqrt{-2} \end{eqnarray*}$ ist nirgendwo die Rede, und diese Lösung ergäbe auch wenig Sinn.

26.11.2008, 09:02

Dalice66

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Moin,
ich hatte mich verschrieben, da man aus negativen Werten keine Wurzel ziehen kann

$\begin{eqnarray*} x_2=-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

nun aber...

26.11.2008, 09:08

Jacques

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Jetzt stimmt es. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.11.2008, 09:15

Dalice66

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Danke

1

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