Nullstellen von unechten brüchen

23.11.2008, 15:36

Skype

Nullstellen von unechten brüchen

ich habe hier eine funktion deren nullstellen ich berechnen soll: $\begin{eqnarray*} \frac{x^{3}-x^{2}-x+8}{x^{2}+x-2} \end{eqnarray*}$

ich bin mir leider nicht mehr ganz sicher wie ich vorzugehen habe. ich meine mich zu erinnern, dass ich zunächst polynomdividieren muss. dies mache ich jetzt mal hier damits schneller geht http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...nomdivision.htm gemacht und es kam folgendes raus: x - 2 - (x - 4)/(x^2 + x - 2)

so jetzt würde ich daraus ein produkt machen:

$\begin{eqnarray*} (x - 2 -\frac{ (x - 4)}{(x^2 + x - 2)} )* (x^{2}+x-2) \end{eqnarray*}$

für den 2. Faktor kann ich mittels ABC Formel folgende 0 Stellen bestimmen: x1=-2; x2=1

ist das soweit erst mal richtig? wie komme ich denn auf die anderen nullstellen, also von $\begin{eqnarray*} (x - 2 -\frac{ (x - 4)}{(x^2 + x - 2)} ) \end{eqnarray*}$ ??

23.11.2008, 15:41

Q-fLaDeN

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Die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion sind die Nullstellen des Zählers.

Du musst also nur $\begin{eqnarray*} x^3-x^2-x+8 \end{eqnarray*}$ auf Nullstellen untersuchen.

$\begin{eqnarray*} x_1 = -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = 1 \end{eqnarray*}$ sind die resultierenden Fehler, deiner falschen Berechnung.

23.11.2008, 15:42

Zizou66

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Man geht grundsätzlich anders vor. Ein Bruch ist genau dann gleich null, wenn sein Zähler gleich null ist.

Daher betrachten wir nur $\begin{eqnarray*} g(x)=x^3-x^2-x+8 \end{eqnarray*}$ .

Und dann

$\begin{eqnarray*} x^3-x^2-x+8=0 \end{eqnarray*}$ .

Du musst also nur die Nullstellen dieses Polynoms finden.

EDIT: Man bin ich denn heute nur zu spät Augenzwinkern

23.11.2008, 15:50

Skype

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hmm ich erinnere mich smile

. aber warum geht es eigentlich nicht auch mit meiner variante?

$\begin{eqnarray*} (x - 2 -\frac{ (x - 4)}{(x^2 + x - 2)}) * (x^{2}+x-2) \end{eqnarray*}$ entspricht doch $\begin{eqnarray*} \frac{ x^{3} - x^{2} -5x+8}{( x^{2} + x - 2)} \end{eqnarray*}$ oder?

dann müsste ich doch $\begin{eqnarray*} (x - 2 -\frac{ (x - 4)}{(x^2 + x - 2)}) * (x^{2}+x-2) =0 \end{eqnarray*}$ setzten können. und von einem faktor jedenfalls kann ich doch ganz einfach 0 stellen erkennen. verwirrt

um von $\begin{eqnarray*} x^{3} - x^{2} -5x+8 \end{eqnarray*}$ die nullstellen zu finden muss ich wohl wieder polynomdividieren. okay hierfür benötige ich zunächst eine 0 stelle. wie soll ich die finden?? geschockt

23.11.2008, 15:57

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Skype
$\begin{eqnarray*} x - 2 -\frac{ (x - 4)}{(x^2 + x - 2)} * (x^{2}+x-2) \end{eqnarray*}$ entspricht doch $\begin{eqnarray*} \frac{ x^{3} - x^{2} -5x+8}{( x^{2} + x - 2)} \end{eqnarray*}$ oder?

Nein, eben nicht. Ich weiss auch nicht wie du auf die Idee gekommen bist, den Faktor hinten wieder dran zu hängen.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{3}-x^{2}-x+8}{x^{2}+x-2} \end{eqnarray*}$ ist exakt gleichbedeutend mit

$\begin{eqnarray*} x - 2 -\frac{x - 4}{x^2 + x - 2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Skype
um von $\begin{eqnarray*} x^{3} - x^{2} -5x+8 \end{eqnarray*}$ die nullstellen zu finden muss ich wohl wieder polynomdividieren. okay hierfür benötige ich zunächst eine 0 stelle. wie soll ich die finden??

Richtig, da diese Funktion nur eine einzige Nullstelle besitzt, welche nicht ganzzahlig ist, musst du ein numerisches Verfahren wie z. B. Newton anwenden.

23.11.2008, 16:06

Skype

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ja stimmt absoluter schwachsinn. Hammer

nein ich glaube ich verliere mein eigentliches ziel gerade aus den augen.
aufgabe ist es diesen bruch partial zu zerlegen um zu integrieren.

mit bezug auf die aufgabe hat unser lehrer uns extra darauf hingewiesen, dass die zerlegung in linearfaktoren nur bei echten brüchen möglich sei. bei unechten wäre die polynomdivision anzuwenden.

ehrlich gesagt wird mir nicht ganz klar warum. da es nun mit intergration weiter geht werde ich dazu gleich ein beitrag in anlysis erstellen. auf den ich dann von hier aus verlinken werde.

Hier gehts weiter zur Analysis Integration durch Partialbruchzerlegung von unechten Brüchen.

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