Integration durch Partialbruchzerlegung von unechten Brüchen.

23.11.2008, 16:11

Skype

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Integration durch Partialbruchzerlegung von unechten Brüchen.

Hallo, auf Nullstellen von unechten brüchen habe ich bereits angefangen.

ich soll $\begin{eqnarray*} \frac{ x^{3} - x^{2} -5x+8}{( x^{2} + x - 2)} \end{eqnarray*}$ durch partialbruch zerlegung intergrieren.

eigentlich hätte ich damit kein problem, doch unser lehrer hat uns extra in bezug auf diese aufgabe darauf hingewiesen, dass wir hier nicht linearfaktoren zerlegen können, da dies wohl nur für echte brüche möglich sei. wir wurden daher auf die polynomdivision verwiesen.

ja und das ist jetzt eigentlich mein problem. ich verstehe nicht so recht warum ich bei unechten brüchen aufeinmal anders vorgehen soll. normal hätte ich zunächst den nenner in ein produkt verwandelt, was bei $\begin{eqnarray*} x^{2} + x - 2 \end{eqnarray*}$ ja auch kein wirkliches problem darstellt.

23.11.2008, 17:00

friederichlich

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RE: Integration durch Partialbruchzerlegung von unechten Brüchen.
Für die Partialbruchzerlegung muss der Grad des Zählers niedriger sein als der des Nenners.

Deshalb Polynomdivision von
$\begin{eqnarray*} \frac{ x^{3} - x^{2} -5x+8}{( x^{2} + x - 2)} \end{eqnarray*}$

ergibt:
$\begin{eqnarray*} x - 2 -\frac{x - 4}{x^2 + x - 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-2 \end{eqnarray*}$ ist schnell integriert.

$\begin{eqnarray*} \frac{x - 4}{x^2 + x - 2} \end{eqnarray*}$ kann nun in Partialbrüche zerlegt und dann integriert werden.

23.11.2008, 17:07

Skype

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ah super, vielen vielen dank! kannst du mir auch noch erklären warum es sich um echte brüche handeln muss??

23.11.2008, 17:40

Skype

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hmm komisch, ich habe dennoch was anderes raus als http://www.calc101.com/webMathematica/Integrale.jsp#topdoit

also zunächst habe ich polynomdividiert und habe x - 2 - (x - 4)/(x^2 + x - 2) erhalten. (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...nomdivision.htm)

dann betrachte ich zunächst nur (x - 4)/(x^2 + x - 2)

0 stellen für x^2+x-2 sind -2 und 1

dann habe ich
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+2} +\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)}{x+2} +\frac{B(x+2)}{x-1} =\frac{x-4}{x^{2}+x-2} \end{eqnarray*}$

es folgt ein koeffizientenvergleich:

Ax-A+Bx+2B=x-4

Ax+Bx=x
A=1-B

-A+2B=-4
$\begin{eqnarray*} B=\frac{-4+A}{2} \end{eqnarray*}$

A=6

B=1

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~x-2+\frac{6}{x+2}+\frac{1}{x-1} ~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{2}x^{2}-2x+6 ln(x+2)+ln(x-1) ]_{b}^a \end{eqnarray*}$

23.11.2008, 17:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Skype
dann habe ich
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+2} +\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)}{x+2} +\frac{B(x+2)}{x-1} =\frac{x-4}{x^{2}+x-2} \end{eqnarray*}$

Nun ja, eher dies:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+2} +\frac{B}{x-1} = \frac{A(x-1)}{(x+2)(x-1)} +\frac{B(x+2)}{(x+2)(x-1)} =\frac{x-4}{x^{2}+x-2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Skype
A=1-B

A=6

B=1

Deine Lösungen passen nicht zu dieser Gleichung.

23.11.2008, 17:54

friederichlich

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ich komme auf A=2 und B=-1.
Und vor dem Bruch in der Funktion steht noch ein Minus.

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23.11.2008, 17:56

Skype

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stimmt habe ich auch gerade gemerkt. mit a=2 und B=-1 passts aber.

dann käme ich auf folgende stammfunktion, die aber noch immer von der lösung von http://www.calc101.com/webMathematica/Integrale.jsp#topdoit abweicht. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{2}x^{2}-2x+2 ln(x-1)-ln(x+2)+c ]_{b}^a \end{eqnarray*}$

23.11.2008, 17:58

klarsoweit

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Statt des Links könntest du die Lösung hier posten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.11.2008, 18:00

friederichlich

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die funktion lauetet:
$\begin{eqnarray*} x - 2 -\frac{x - 4}{x^2 + x - 2} \end{eqnarray*}$

du hast das minus vor dem bruch vergessen.

23.11.2008, 18:00

Skype

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ich hab doch meine lösung gepostet verwirrt

verwirrt

ich wollt nur zeigen dass mein ergebnis von dem des kalkulators abweicht. unglücklich

unglücklich

23.11.2008, 18:04

Skype

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stimmt nochmal korrigiertes ergebnis
$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{2}x^{2}-2x-2 ln(x+2)-ln(x-1)+c ]_{b}^a \end{eqnarray*}$

ist leider immer noch anders als http://www.calc101.com/webMathematica/Integrale.jsp#topdoit verwirrt

verwirrt

die haben da komischerweise noch ein+1 vor dem C ?? wo kommt das denn her???

23.11.2008, 18:04

klarsoweit

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Also was ist jetzt deine Lösung und welche ist von dem Kalkulator?

23.11.2008, 18:07

Skype

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aaalso mein ergbenis ist $\begin{eqnarray*} [\frac{1}{2}x^{2}-2x-2 ln(x+2)-ln(x-1)+c ]_{b}^a \end{eqnarray*}$

und das vom kalkulator $\begin{eqnarray*} [\frac{1}{2}x^{2}-2x-2 ln(x+2)-ln(x-1)+1+c ]_{b}^a \end{eqnarray*}$

die haben hier noch +1 vor dem C

23.11.2008, 18:11

frieder

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du hast da immer noch ein minus falsch...

und das +1 ist beim integral doch wurscht.

23.11.2008, 18:29

Skype

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hmm welches minus meinst du denn jetzt?? warum ist das +1 egal?? wo kommt das denn her? verwirrt

verwirrt

24.11.2008, 08:19

klarsoweit

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Wenn du dir dein Integral nochmal anschaust, müßte das die Stammfunktion sein:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^{2}-2x + 2 ln(x+2)-ln(x-1)+c \end{eqnarray*}$

Und warum der Kalkulator noch ein +1 einbaut, kann ich dir auch nicht sagen. Da Integrationskonstanten keinen weiteren Einfluß haben, ist das ja auch wurscht.

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