Häufungspunkte von Folgen

23.11.2008, 16:20

stereo

Häufungspunkte von Folgen

Hallo,
ich finde wiedereinmal nicht den richtigen Ansatz für das bestimmen von Häufungspunkten.

Wir haben in der Vorlesung den HP so definiert:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ reelle Zahlenfolge. Eine Zahl $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ genau dann wenn jede $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Kugel $\begin{eqnarray*} B(a, \epsilon) \end{eqnarray*}$ von a unendliche viele Folgeglieder $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ enthält.

kurz: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \quad \forall m \in \mathbb N\quad\exists n > m : a_n \in B(a,\epsilon) \end{eqnarray*}$

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a) $\begin{eqnarray*} a_n = \left(1+ \frac{(-1)^n}{n} \right)^n , \quad n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Hier unterscheide ich ob n gerade oder ungerade ist.

1.Fall: n ist gerade, so ist $\begin{eqnarray*} (-1)^n = 1 \end{eqnarray*}$ und die Teilfolge läuft gegen e.

2. Fall: n ist ungerade, so ist $\begin{eqnarray*} (-1)^n = -1 \end{eqnarray*}$ und somit läuft die Teilfolge gegen 0, da der Wert in der Klammer kleiner als 1 ist.

Somit müssten e und 0 Häufungspunkte sein - wie zeige ich das mathematisch Korrekt? Und wie gebe ich die Teilfolgen für gerades bzw ungerades n richtig an?
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b) $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n}{5} - \left [\frac{n}{5} \right], \quad n \in N \text{ mit [x] = größte Zahl} \leq x \end{eqnarray*}$

Hier verstehe ich noch nicht ganz den Ausdruck der eckigen Klammer.
Wenn n=1, 2, 3, 4 ist [x] = 0 und wenn n=5, 6, 7, 8, 9 ist [x] = 1 . Habe ich das so richtig verstanden?
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c) $\begin{eqnarray*} a_n= \frac{x^n}{1+x^{2n}} , \quad n \in \mathbb N \text{ für festes } x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Auch hier muss ich wieder unterscheiden.

x > 0: So läuft die Teilfolge gegen 0.

x = 0: So läuft die Teilfolge gegen 1/2.

x < 0: Ist n gerade, so gilt: Teilfolge läuft gegen 0.

Ist n ungerade, so gilt: Teilfolge läuft gegen auch gegen 0.

So müssten die Häufungpunkte 0 und 1/2 sein.

Mir fällt es auch hier schwer meine Überlegungen darzustellen, da ich keine richtige Technik habe wie ich an die Aufgabe herangehe. Gibt es denn einen Algorithmus wie ich an solche Aufgaben heran gehe, um auch meine Überlegungen für den Übungsleiter deutlich zu machen?

Danke schonmal Prost

23.11.2008, 16:37

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Zitat:

Original von stereo
c) $\begin{eqnarray*} a_n= \frac{x^n}{1+x^{2n}} , \quad n \in \mathbb N \text{ für festes } x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Auch hier muss ich wieder unterscheiden.

x > 0: So läuft die Teilfolge gegen 0.

Soso - auch für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von stereo
x = 0: So läuft die Teilfolge gegen 1/2.

Falsch.

Zitat:

Original von stereo
x < 0: Ist n gerade, so gilt: Teilfolge läuft gegen 0.

Ist n ungerade, so gilt: Teilfolge läuft gegen auch gegen 0.

Auch hier mal den Fall $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ betrachten.

Zitat:

Original von stereo
Gibt es denn einen Algorithmus wie ich an solche Aufgaben heran gehe, um auch meine Überlegungen für den Übungsleiter deutlich zu machen?

Sicher, solche Algorithmen gibt es, die decken sogar ein recht großes Feld ab: Schau dir dazu die Quellen der CAS an, also von Mathematica, Maple, usw., die können das ja irgendwie. Big Laugh

Grundlegende Kenntnisse über ein paar Basisfolgen, wie etwa das alternierende Verhalten von $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ usw., sind allerdings mehr als ausreichend, um das ohne stupide allumfassende Algorithmen zu lösen. Die dann zu kombinieren, dazu gehört dann eben ein wenig von dem, was Akerbos gestern erwähnt hat:

Zitat:

Original von Akerbos
Das ist einer der Punkte, wegen denen in der Studienfachbeschreibung als Anforderung "Kreativität" steht.

23.11.2008, 17:03

stereo

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Ach ja, bei c) ist mir das auch eben eingefallen, dass ich dort einen großen Fehler gemacht habe smile

Ja Kreativität, in meinem Studiengang stand nichts von Kreativität in der Mathematik Big Laugh

- zum Glück hab ich reine Mathematik nur 2 Jahre smile

Mir ist klar dass es Algorithmen gibt, nur wie gehe ich denn so an die Aufgaben ran?

Reicht dass wenn ich da eine Fallunterscheidung mache wie bei a? Weil ich gehe ja gar nicht auf die Definition des Häufungspunktes ein.

23.11.2008, 17:59

stereo

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zu c)

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{x^n}{1+x^{2n}}\quad n \in \mathbb N \quad x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} z = x^n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x > 1: \quad a_z = \frac{z}{1+z^{2}} = \frac{z^2 \cdot \frac{1}{z}}{z^2(\frac{1}{z^2}+1)} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 1: \quad a_n = \frac{1^n}{1+1^{2n}} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = -1: \quad a_n = \frac{(-1)^n}{1+((-1)^2)^n} = \frac{(-1)^n}{1+1^n} \rightarrow \begin{cases} 1/2 & n = gerade \\ -1/2 & n = ungerade \end{cases} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x = (1,-1) \cup (-1,-\infty) \end{eqnarray*}$ läuft die Folge gegen 0.

Somit sind 0, 1/2 und -1/2 Häufungspunkte.

Stimmt das so?

Wie sieht es mit a und b aus? Big Laugh

Kann ich a so stehen lassen und habe ich b richtig aufgefasst?

23.11.2008, 20:35

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Sieht richtig aus - mit Ausnahme einer Intervallschreibweise: Es heißt nicht $\begin{eqnarray*} (-1,-\infty) \end{eqnarray*}$ , sondern natürlich $\begin{eqnarray*} (-\infty,-1) \end{eqnarray*}$ .

23.11.2008, 21:10

stereo

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natürlich wird das intervall so geschrieben smile

ich danke dir

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