Cauchy Kriterium anwenden

23.11.2008, 18:27

stereo

Cauchy Kriterium anwenden

Hallo,
ich bin hier über eine Aufgabe mit dem Cauchy Kriterium gestolpert. In der Vorlesung haben wir gesagt:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N(\varepsilon) \in \mathbb N \quad \forall n, m \geq N(\varepsilon):\quad |a_n - a_m| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Nun zur Aufgabe:

Man zeige mittels Cauchy-Kriterium, dass die rekursiv definierte Folge

$\begin{eqnarray*} a_1 = 0 \quad \quad a_{n+1} = \frac{1}{2+a_n} \quad (n \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$

konvergiert. Berechnen Sie den Grenzwert dieser Folge.

Zu allererst habe ich ein paar Elemente mir ausgerechnet um zu schauen in welche Richtung die Folge geht.

$\begin{eqnarray*} a_2 = \frac{1}{2+a_1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_3 = \frac{1}{2+a_2} = \frac{1}{2+\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_4 = \frac{1}{2+a_3} = \frac{1}{2+\frac{2}{5}} = \frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12} \end{eqnarray*}$

Meine Vermutung ist dass die Reihe streng monoton fällt und 0 der Grenzwert ist.

Ich weiß aber nicht wie ich das mit dem Cauchy Kriterium zeige, da ist auch den Hintergrund nicht verstehe.

23.11.2008, 20:13

Dual Space

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RE: Cauchy Kriterium anwenden
Folge doch dem Hinweis und nutze das Cauchy-Krit.

Betrachte also z.B. $\begin{eqnarray*} |a_n-a_{n+1}| \end{eqnarray*}$ . Wenn du das klein kriegst, dann braucht dich Beschränktheit oder Monotonie nicht weiter interessieren.

23.11.2008, 21:31

stereo

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Also gehe ich jetzt nur von der Vorraussetzung der Kriteriums aus.

$\begin{eqnarray*} | a_n - a_{n+1} | < \varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{2+a_{n-1}} - \frac{1}{2+a_{n}} \right| = \left| \frac{a_n - a_{n-1}}{4+2a_n+2a_{n-1}+a_n a_{n-1}} \right| < ... < \varepsilon \end{eqnarray*}$

In welche Richtung muss ich jetzt abschätzen? Was erwarte ich vom Abschätzen?

Nach rechts könnte ich jetzt abschätzen dass $\begin{eqnarray*} a_n - a_{n-1} \end{eqnarray*}$ größer ist, aber was habe ich davon?

Wie gesagt, ich habe noch nichtmal das Kriterium verstanden, arbeite aber damit Big Laugh

Das ist wie kochen nach Rezept - leider habe ich auch noch kein Lehrbuch

24.11.2008, 09:57

Dual Space

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Zuerst ist es vielleicht nützlich zu sehen, dass a_n beschränkt ist. Dafür genügt es die folgenden Implikationen zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} a_n\geq 0 \Rightarrow a_{n+1}\leq\frac{1}{2}\Rightarrow a_{n+2}\geq\frac{2}{5}. \end{eqnarray*}$

Allerdings ist die Folge nicht monoton (sie "pendelt" um ihren Grenzwert), wie folgende Überlegung zeigt:

$\begin{eqnarray*} a_n>\sqrt{2}-1 \Rightarrow a_{n+1}<\sqrt{2}-1 \Rightarrow a_{n+2}>\sqrt{2}-1. \end{eqnarray*}$

Somit sind deine beiden Vermutungen

Zitat:

Original von stereo
Meine Vermutung ist dass die Reihe streng monoton fällt und 0 der Grenzwert ist.

natürlich falsch. Falls a_n konvergiert, so gegen eine Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{2+a}. \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Zur Abschätzung. Entgegen meines Hinweises starte besser so (o.B.d.A. sei m>n):

$\begin{eqnarray*} |a_m-a_n|=\left|\frac{a_{n-1}-a_{m-1}}{(2+a_{m-1})(2+a_{n-1})}\right|\leq \frac{1}{4}|a_{m-1}-a_{n-1}|\leq \dots \leq \frac{1}{4^{n-1}}|a_{m-n-1}-a_1| \end{eqnarray*}$

Jetzt bist du aber wieder dran. smile

PS. Sagt Prof. Carl er muss auf die Tube treten um die Integralrechung noch dieses Semster zu schaffen. Big Laugh

02.06.2010, 17:40

chrisli

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Hallo,

der Thread ist zwar schon älter jedoch habe ich einige Fragen. Hoffe es kann mir jemand helfen.

Und zwar wie komme ich auf $\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{4} |a_{m-1}-a_{n-1} | \end{eqnarray*}$ das?

Dabei gilt:
$\begin{eqnarray*} |a_n-a_m | = |a_n-a - (a_m -a)| \leq |a_{n} - a | + |a_{m} - a| < 2 \epsilon \end{eqnarray*}$

Das nächste was ich nicht so ganz verstehe, ist wie man weiteriteriert.

Wäre super wenn mir jemand helfen könnt.

mfg

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