Injektiv, Surjektiv

23.11.2008, 18:48

Injektiv, Surjektiv

Injektiv, Surjektiv

Hallo ich soll folgende Aufgabe bearbeiten:

Sind die folgenden Funktionen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \mathbb R \end{eqnarray*}$ injektiv oder surjektiv?

$\begin{eqnarray*} f(x)=5x^3-20x+1 \end{eqnarray*}$

Um zu überprüfen ob es surjektiv ist, müsste ich die Gleichung nach y auflösen, was mir schwer fallen wird.
Deswegen habe ich hier ne Alternativfrage.
Wir haben in der letzten Vorlesung die Stetigkeit von Funktionen kennengelernt und herausgefunden dass jedes Polynom stetig ist.

Kann ich jetzt einfach folgern: Da wie in der Vorlesung festgestellt jedes Polynom stetig ist gilt: $\begin{eqnarray*} \forall y\in \mathbb R \exists x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv.

Oder führt kein anderer Weg dran vorbei diese Gleichung nach y aufzulösen?

Danke

23.11.2008, 18:49

Milena22

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Sorry habe Benutzername und Titel vertauscht Augenzwinkern

und es soll $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißen.

23.11.2008, 18:57

stereo

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Wann ist eine Funktion surjektiv, und wann ist eine Funktion injektiv.

Was weißt du über diese Begriffe?

23.11.2008, 19:00

Milena22

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Surjektiv ist sie wenn es $\begin{eqnarray*} forall y\in \mathbb R \exists x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ .
Injektiv: $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x') \Rightarrow x=x' \end{eqnarray*}$

23.11.2008, 19:20

stereo

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Es tut mir Leid, ich muss jetzt erstmal weg.

Wäre nett wenn jemand anderes übernehmen kann.

23.11.2008, 19:31

Milena22

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Hmm oki, aber das war mir jetzt eigentlich garkeine Hilfe

23.11.2008, 19:31

Mathespezialschüler

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Warum sollte aus der Stetigkeit die Surjektivität folgen? Jede konstante Funktion ist stetig, aber in den allerwenigsten Fällen surjektiv!

Du wirst diese Gleichung nicht nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen können, die Funktion ist nämlich nicht umkehrbar. Trotzdem kann man sie Surjektivität zeigen. Dabei kann die Stetigkeit tatsächlich helfen, aber einfach so folgt das daraus nicht. Mal dir mal den Graphen einer kubischen Funktion, speziell dieser, auf und denke ein bisschen nach.

23.11.2008, 19:40

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Jede konstante Funktion ist stetig, aber in den allerwenigsten Fällen surjektiv!

Um diese ironische Bemerkung humoristisch aufzugreifen, sei mir gestattet, eine surjektive konstante Funktion anzugeben:

$\begin{eqnarray*} g: \ \ \{ 17 \} \to \{ 17 \} \, , \ \ x \mapsto 17 \end{eqnarray*}$

Man kann zeigen, daß diese Funktion sogar bijektiv ist.

23.11.2008, 19:50

Milena22

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Also die Injektivität widerlege ich indem ich die Werte $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ nehme, aber bei der Surjektivität fällt mir immer noch nichts gescheites ein

23.11.2008, 20:19

Mathespezialschüler

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Was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to-\infty}f(x) \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x) \end{eqnarray*}$ ? Denke dann an den Zwischenwertsatz.

23.11.2008, 20:25

Milena22

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Hmm also den Grenzwert von Funktionen haben wir letzte Stunde eingeführt, aber von dem Zwischenwertsatz habe ich noch nichts gehört, d.h. ich muss die Aufgabe irgendwie anders lösen, aber wie geht das denn noch?

23.11.2008, 20:39

Mathespezialschüler

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Tut mir leid, aber eine Lösung ohne Zwischenwertsatz sehe ich gerade nicht und da ich glaube, dass eine solche ziemlich hässlich wird, lohnt es (sich für mich) nicht, darüber nachzudenken. Ist es eventuell möglich, dass der Zwischenwertsatz in der Vorlesung noch dran kommt, bevor ihr die Aufgabe abgeben müsst?

23.11.2008, 20:47

Milena22

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Ne leider haben wir keine Vorlesung mehr vorher, naja dann werde ich mich ersteinmal mit den anderen Aufgaben beschäftigen.
Danke dir

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