ganzrationale funktion 4. grades und 5 bedingungen

23.11.2008, 19:45

overwrite

ganzrationale funktion 4. grades und 5 bedingungen

hallo leute smile

also, ich hab da ein problem beim lösen einer Aufgabe und muss wohl daraus die Konsequenz ziehen, daß ich etwas grundsätzliches nicht verstanden habe. Deshalb stelle ich hier die Aufgabe und meinen, offensichtlich fehlerhaften Lösungsweg vor.

Ich bin für jeden Tip und für jede Anregung mehr als Dankbar smile

Also, die Aufgabenstellung:
###############################
Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades berührt die X- Achse im Punkt P1 (2;0) und hat im Ursprung einen Wendepunkt. Die Wendetangente bildet mit der positiven Richtung der X- Achse einen Winkel von 45°.

AUFGABE:
a. Bestimmen Sie Funktionsgleichung dieser ganzrationalen Funktion und
b. die Funktionsgleichung der Tangente an der Kurve im Punkt P1(2;0).

HINWEIS:
Wenn der Graph der Funktion die X- Achse berührt, handelt es sich genau an dieser Stelle um eine doppelte Nullstelle. Skizzieren Sie den Verlauf und überlegen Sie, welche Aussage Sie bezüglich der Tangentensteigung an der doppelten Nullstelle machen können. Diese brauchen Sie, um die Bedingungen aufzustellen.
Die durch den Ursprung gehende Wendetangente [dann ist bei (0;0) ein Wendepunkt] hat einen Steigungswinkel von 45°; beachten Sie, dass die Steigung m gleich dem Tangens des Steigungswinkels ist.

DIE VORGEGEBENE LÖSUNG (auf die ich leider nicht komme)
a. $\begin{eqnarray*} f(x) = 0,25x^4 - 0,75x^3 + x \end{eqnarray*}$
b. Die X- Achse ist die Tangente an x=2 des Graphen

Und so habe ich versucht, die Aufgabe zu lösen:
################################################

ZU B) Funktion der Wendetangente an P2(0;0)

yt = m*x + b

m = tan(45°) = 1
eingesetzt in P2(0|0):
0 = 1*0 + b <=> b = 0
folglich: yt = x

ZU A) Funktion des Graphen

FUNKTION 4. GRADES:
$\begin{eqnarray*} f(x) = a4*x^4 + a3*x^3 + a2*x^2 + a1*x + a0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f|(x) = 4*a4*x^3 + 3*a3*x^2 + 2*a2*x + 2*a2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f||(x) = 12*a4*x^2 + 6*a3*x + 2*a2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f|||(x) = 24*a4*x + 6*a3; \end{eqnarray*}$

GEGEBENE PUNKTE:
P1(2;0)
P2(0;0)

GRUNDGEDANKEN ZUM AUFSTELLEN DER BEDINGUNGEN:
1. f||(2) = 0
Weil die X- Koordinate des Wendepunktes bei x=2 liegt

2. f|(2) = 0
Weil bei x=2 ein doppelter Nullpunkt ist und für diesen Punkt die X- Achse auch Steigungstangente ist.
Zitat aus Aufgabenstellung: "f(x) berührt die X- Achse"

3. f|(0) = 1
Weil die Steigungstangente am Punkt x=0 die Steigung 1 hat

4. f(2) = 0
Der gegebene Punkt P1(2;0)

5. f(0) = 0
Der gegebene Punkt P2(0;0)

DIE 5 BEDINGUNGEN, DIE MAN ZUR NACHVOLLZIEHUNG EINER GANZRATIONALEN FUNKTION 4. GRADES BRAUCHT:
1) P1(2;0) -> 16*a4 + 8*a3 + 4*a2 + 2*a1 + a0 = 0
2) P2(0;0) -> a4*0 + a3*0 + a2*0 + a1*0 + a0 = 0 <=> a0 = 0
3) f||(2)=0-> 48*a4 + 12*a3 + 2*a2 = 0;
4) f|(2)=0 -> 32*a4 + 12*a3 + 4*a2 = 0
5) f|(0)=1 -> a4*0 + a3*0 + a2*0 + a1 = 1 <=> a1 = 1

Unter Berücksichtigung der ermittelten Werte für a0=0 und a1=1:
1) P1(2;0) -> 16*a4 + 8*a3 + 4*a2 + 2 = 0
2) P2(0;0) -> a0 = 0
3) f||(2)=0-> 48*a4 + 12*a3 + 2*a2 = 0
4) f|(2)=0 -> 32*a4 + 12*a3 + 4*a2 = 0
5) f|(0)=1 -> a1 = 1

"Berechnungen an den Bedingungen":

Additionsverfahren: (3) + (4 * (-1)):
48*a4 + 12*a3 + 2*a2 = 0
+ -32*a4 +-12*a3 +-4*a2 = 0
------------------------------
16*a4 - 2*a2 = 0; |:2 |+a2
<=> 8*a4 = a2

Einsetzungsverfahren:
8*a4 = a2 eingesetzt in (1):
16*a4 + 8*a3 + 32*a4 + 2 = 0 |:2
<=> 24*a4 + 4*a3 + 1 = 0 |-24*a4 |-1
<=> 4*a3 = -24*a4 - 1 |:4
<=> a3 = -6*a4 - 0,25

So, und ab diesem Punkt bekomme ich nur noch als Ergebniss heraus: 0 = 0
Das bringt mich zum verzweifeln... Irgendwo ist ein Fehler in meiner Logik...

Versucht habe ich zB:
(a3 = -6*a4 - 0,25) und (8*a4 = a2) eingesetzt in (1)
(a3 = -6*a4 - 0,25) und (8*a4 = a2) eingesetzt in (3)

immer mit dem Ergebnis 0 = 0 Hammer

23.11.2008, 19:53

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal:

[Artikel] Steckbriefaufgaben

Nun muss ich den Aufsatz erstmal lesen

23.11.2008, 20:03

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades berührt die X- Achse im Punkt P1 (2;0) und hat im Ursprung einen Wendepunkt. Die Wendetangente bildet mit der positiven Richtung der X- Achse einen Winkel von 45°.

AUFGABE:
a. Bestimmen Sie Funktionsgleichung dieser ganzrationalen Funktion und
b. die Funktionsgleichung der Tangente an der Kurve im Punkt P1(2;0).

$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4ax^3+3bx^2+3cx+d \end{eqnarray*}$

Nun die 5 Bedingunen:

$\begin{eqnarray*} f(2)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(2)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(0)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(0)=1 \end{eqnarray*}$

nun das ganze in ein LGS schreiben und lösen (Gauss-Algorithmus)

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0,25x^4 - 0,75x^3 + x \end{eqnarray*}$

23.11.2008, 20:06

overwrite

Auf diesen Beitrag antworten »

hey, ich hab die Bedingungen anscheinend richtig aufgestellt *freu*

Ich werde mir diesen Gauss- Logarithmus ansehen.

Besten Dank smile

24.11.2008, 20:58

overwrite

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal

Also ich hab mir das jetzt mal angesehen, aber irgendwie verstehe ich diese Gauss Methode nicht.

Es ist mir schleierhaft wie man aus dem, was dieses Java- Tool so ausspuckt, die Gleichung, die Du ja korreckt wiedergegeben hast, rekonstruieren soll.

Ich habe die Matrix auf Papier gemacht und umgestellt, aber ich weiss nicht, was ich damit anfangen soll...

Hammer

24.11.2008, 20:59

overwrite

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe sowas bis jetzt auch imnmer nur über Einsetzungsverfahren oder Gleichsetzungsverfahren gemacht, aber damit komme ich irgendwie nicht weiter verwirrt

24.11.2008, 21:22

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht denn die Startmatrix aus?

24.11.2008, 21:23

overwrite

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich es nach Anleitung mache (also auf Papier), kriege ich falsche Ergebnisse

biite helft mir Gott

24.11.2008, 21:25

overwrite

Auf diesen Beitrag antworten »

16 8 4 2 | 0
48 12 2 0 | 0
32 12 4 0 | 0
0 0 0 1 | 1

habe den Ausdruck, aus dem hervorgeht, daß $\begin{eqnarray*} a_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist, bewusst nicht mit aufgenommen.

01.12.2008, 11:28

rawsoulstar

Auf diesen Beitrag antworten »

An dieser Stelle möchte ich ganz heimlich auf diesen Post verweisen - bitte korrigieren, falls Rechenfehler gefunden werden!

Neue Frage »

Antworten »

ganzrationale funktion 4. grades und 5 bedingungen

Verwandte Themen