Normale eines Ellipsoid

23.11.2008, 20:19

pingu

Normale eines Ellipsoid

Hallo zusammen,

ich habe da ein Frage zu ner Aufgabe. Ich weiss nicht, ob ich es richtig gemacht habe, also ob die Idee richtig war. Die Aufgabenstellung lautet:

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+3y^2+6z^2+2xy+2xz+6yz=1 \end{eqnarray*}$ beschreibt ein Ellipsoid. In welchen Punkten dieser Fläche ist die Normale parallel zur z-Achse.

Ich hab mir folgendes überlegt:

Die Normale muss so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Gradient zur Niveaufläche 1, ist gerade parallel zur Normalen in einem beliebigen Punkt auf der Oberfläche des Ellipsoids.

Deshalb hab ich die Funktion nach x, nach y und nach z abgeleitet, um den Gradienten zu erhalten. Das ergab: $\begin{eqnarray*} \nabla f = \begin{pmatrix} 2x+2y+2z \\ 6y+2x+6z \\ 12z +2x+6y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die 1. Komponente gleich 0, die 2. ebenfalls und die 3. gleich 1 setze, erhalte ich 3 Gleichungen und kann somit x,y un z berechnen.
Ich hab dann für x=0, y=-1/6 und z=1/6 erhalten. Kann das stimmen? Was mich eben ein wenig stuzig macht, ist die Frage in der Aufgabenstellung nach Punkten, aber ich habe ja nur einen erhalten...

lg

24.11.2008, 19:06

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Normale eines Ellipsoid

Zitat:

Original von pingu
Wenn ich nun die 1. Komponente gleich 0, die 2. ebenfalls und die 3. gleich 1 setze, erhalte ich 3 Gleichungen und kann somit x,y un z berechnen.
Ich hab dann für x=0, y=-1/6 und z=1/6 erhalten. Kann das stimmen? Was mich eben ein wenig stuzig macht, ist die Frage in der Aufgabenstellung nach Punkten, aber ich habe ja nur einen erhalten...

Hm, die 3te Komponente müsstest du auf $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ setzen nach deiner Idee. Ansonsten ist fraglich, ob dein ermittelter Punkt auf dem Ellipsoid liegt.

Grüße Abakus smile

24.11.2008, 20:46

pingu

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, das ergäbe dann in dem Fall $\begin{eqnarray*} x=0, y=\frac{-\lambda}{6}, z=\frac{\lambda}{6} \end{eqnarray*}$ .

Das sind jetzt aber schon sehr viele Lösungen, finde ich... Aber die Idee, ist die überhaupt korrekt?

lg

25.11.2008, 13:54

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Idee habe ich keinen Einwand, was aber nichts heißen muss.

Von deinen Lösungen musst du jetzt schauen, welche davon auf dem Ellipsoid liegen (von der Anschauung müssten das 2 sein). Wenn du die hast, lässt sich nachrechnen.

Grüße Abakus smile

25.11.2008, 14:13

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

mit $\begin{eqnarray*} \lambda=\pm\frac{\sqrt{6}}{6} \end{eqnarray*}$ hast du auch (genau) 2 punkte

25.11.2008, 21:19

pingu

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich hab x, y und z (jetzt durch $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ausgedrückt) in die Ursprungsfunktion eingesetzt und erhalte für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ nun nicht $\begin{eqnarray*} \pm\frac{\sqrt{6}}{6} \end{eqnarray*}$ wie riwe, sondern $\begin{eqnarray*} \pm 2 \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ...?

25.11.2008, 22:33

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von pingu
Ok, ich hab x, y und z (jetzt durch $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ausgedrückt) in die Ursprungsfunktion eingesetzt und erhalte für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ nun nicht $\begin{eqnarray*} \pm\frac{\sqrt{6}}{6} \end{eqnarray*}$ wie riwe, sondern $\begin{eqnarray*} \pm 2 \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ...?

Du solltest nachrechnen können, ob das hinkommt oder eben nicht. Mache die Probe.

Wenn du deine Berechnung einstellst, lässt es sich natürlich auch checken (was hast du wo eingesetzt?).

Grüße Abakus smile

25.11.2008, 23:04

pingu

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, das war nur ein Exempel smile

Hoffe, hab das so richtig verstanden. Also wenn ich diese Gleichung nehme: $\begin{eqnarray*} x^2+3y^2+6z^2+2xy+2xz+6yz=1 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x=0, y=\frac{-\lambda}{6}, z=\frac{\lambda}{6} \end{eqnarray*}$ einsetze, erhalte ich 2 Punkte $\begin{eqnarray*} \pm 2 \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , die beide die Ellipsoidengleichung erfüllen. Right?

26.11.2008, 01:27

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst schon exakter formulieren.
$\begin{eqnarray*} \pm 2 \sqrt3 \end{eqnarray*}$ sind sicher nicht zwei Punkte, sondern erst die zwei Werte von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , die du nun für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ einsetzen musst, um zu den Punkten zu gelangen. Ein Punkt lautet demnach $\begin{eqnarray*} (0; -\frac{\sqrt3}{3};\frac{\sqrt3}{3}) \end{eqnarray*}$ .

mY+

26.11.2008, 12:03

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Jedenfalls komme ich beim Nachrechnen dann auch auf diese Punkte, right Augenzwinkern