Frage zur Euler'schen Zahl

23.11.2008, 20:25

michi 1989

Frage zur Euler'schen Zahl

Hallo an alle

in meinem Schulbuch und bei wikipedia gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x=e \end{eqnarray*}$

nach meiner Überlegung würde aber bei dieser Grenzwertbetrachtung 1 und nicht e herauskommen.
Meine Begründung: Ich teile ja erst 1 durch "unendlich" was ja sich ja gegen 0 nähert und addiere 1. Also habe ich 1 und potenziere 1 mit "unendlich". Macht bei mir 1 und nicht 2.71828...

Wie ist diese Grenzwertbetrachtung zu interpretieren damit das Ergebnis e ist?

23.11.2008, 20:40

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt deswegen bei dir 1 heraus, weil deine Begründung schlicht total falsch ist.
Mit Begriffen wie "unendlich" kann man eben nicht so einfach hantieren wie manches Schulbuch suggerieren mag...

23.11.2008, 20:48

michi 1989

Auf diesen Beitrag antworten »

ok
aber wie lautet dann die richtige Begründung?
1/"unendlich" ist doch im prinzip eine verschwindend geringe zahl also geht gegen 0...
warum ist das falsch

und egal mit welchen exponenten (R+) ich 1 potenziere. Es kommt immer eins raus

ich versteh das nicht...
wie ist es möglich das bei dieser Betrachtung = e rauskommt.....

23.11.2008, 20:54

Zizou66

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann zum Beispiel zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$ monoton steigend ist. Und da $\begin{eqnarray*} a_1=2 \end{eqnarray*}$ ist muss \lim_{n\to\infty}~a_n doch schon auf jeden Fall größer als 2 sein.
Dann kann man auch noch beweisen, dass die Folge durch 3 nach oben beschränkt ist. Dann braucht man nur noch den Grenzwert zu berechnen...

23.11.2008, 20:55

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von michi 1989
1/"unendlich" ist doch im prinzip eine verschwindend geringe zahl also geht gegen 0...
warum ist das falsch

Unendlich ist keine Zahl. Mit Unendlich kann man nicht rechnen.
Du hast recht, dass
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, aber mehr auch nicht.

Zitat:

Original von michi 1989
und egal mit welchen exponenten (R+) ich 1 potenziere. Es kommt immer eins raus

Das ist wohl wahr, aber du musst eine Zahl potenzieren und " $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$ " ist keine Zahl !

Man kann mit unendlich nicht rechnen !

Machen wir ein anderes Beispiel:
Nimm die Folge $\begin{eqnarray*} b_n=(-1)^n \end{eqnarray*}$ . Sicher ist der Wert der Folge immer 1, falls $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade ist und -1 falls $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade ist und auch egal wie gross dieses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.
Was wäre dann aber " $\begin{eqnarray*} (-1)^{ \infty } \end{eqnarray*}$ " ? Wäre +1 oder -1?
Die Antwort ist, den Ausdruck gibt es einfach nicht, genau weil " $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ " keine Zahl ist !

23.11.2008, 21:13

Auf diesen Beitrag antworten »

@michi1989

Was du da so schön verbal beschrieben hast, kann man exakt mathematisch als Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to \infty} \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x} \right)^y = 1 \end{eqnarray*}$

beschreiben. Das ist zweifelsohne richtig, und da wirst du hier auch keinen Widerspruch ernten. Aber dieser Grenzwert hat nichts mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x} \right)^x \end{eqnarray*}$ zu tun, genauso wenig wie

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \lim_{y \to \infty} \left(1+\frac{1}{x} \right)^y = \infty \end{eqnarray*}$ .

23.11.2008, 21:21

michi 1989

Auf diesen Beitrag antworten »

ok. vielen dank für eure Antworten Wink

Neue Frage »

Antworten »

Frage zur Euler'schen Zahl

Verwandte Themen