"Implizit definierte Funktion" ableiten

23.11.2008, 21:23

Matthias U.

"Implizit definierte Funktion" ableiten

Hallo Leute,
richte mich als mathematisch interessierter Volkswirt an euch mit folgender Frage zur Herleitung eines Modells.

Ausgangspunkt sind die beiden Funktionen

$\begin{eqnarray*} r_p(w_a)=(1-w_a)r_m~+~w_ar_a~~und~~\sigma(w_a)=((1-w_a)^2{\sigma_m}^2+(w_a\sigma_m)^2+(1-w_a)w_a\sigma_{ma})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

durch die eine Funktion $\begin{eqnarray*} r_p(\sigma) \end{eqnarray*}$ beschrieben wird. Benötigt wird dabei die Ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{dr_p(w_a)}{d\sigma}~=~\frac{\frac{dr_p(w_a)}{dw_a}}{\frac{d\sigma(w_a)}{dw_a}} \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist jetzt, wie man diese Ableitung begründet. Ökonomen kürzen den Differentialoperator $\begin{eqnarray*} dw_a \end{eqnarray*}$ und geben sich damit zufrieden - so einfach ist es aber nicht, oder?

24.11.2008, 10:33

Abakus

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RE: "Implizit definierte Funktion" ableiten

Zitat:

Original von Matthias U.
Ausgangspunkt sind die beiden Funktionen

$\begin{eqnarray*} r_p(w_a)=(1-w_a)r_m~+~w_ar_a~~und~~\sigma(w_a)=((1-w_a)^2{\sigma_m}^2+(w_a\sigma_m)^2+(1-w_a)w_a\sigma_{ma})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

durch die eine Funktion $\begin{eqnarray*} r_p(\sigma) \end{eqnarray*}$ beschrieben wird.

Du hast hier 2 Funktionen, wobei einzelne Variable voneinander abhängen? Für ein VWL-Modell müsstest du die Grundannahmen noch dazuschreiben (exogene/endogene Variable, Abhängigkeiten usw.). Eine implizite Definition sehe ich da im Momemt nicht.

Zitat:

Benötigt wird dabei die Ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{dr_p(w_a)}{d\sigma}~=~\frac{\frac{dr_p(w_a)}{dw_a}}{\frac{d\sigma(w_a)}{dw_a}} \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist jetzt, wie man diese Ableitung begründet. Ökonomen kürzen den Differentialoperator $\begin{eqnarray*} dw_a \end{eqnarray*}$ und geben sich damit zufrieden - so einfach ist es aber nicht, oder?

Das sieht aus wie die Kettenregel beim Differenzieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{dr_p(w_a)}{d\sigma} \cdot~{\frac{d\sigma(w_a)}{dw_a}}=~{\frac{dr_p(w_a)}{dw_a}} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

24.11.2008, 18:00

Matthias U.

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Vielen Dank, so schwer ist das ja gar nicht Hammer

Bin mir nicht sicher, ob der Begriff "implizit definiert" richtig ist, da ich nicht weiß, was Mathematiker darunter verstehen. Aber gegeben

(1) $\begin{eqnarray*} r_p(w_a)=(1-w_a)r_m~+~w_ar_a \end{eqnarray*}$

und

(2) $\begin{eqnarray*} \sigma^2(w_a)=(1-w_a)^2{\sigma_m}^2+(w_a\sigma_a)^2+2(1-w_a)w_a\sigma_{ma} \end{eqnarray*}$

kann man zunächst aus (1)

$\begin{eqnarray*} w_a=\frac{r_p-r_m}{r_a-r_m} \end{eqnarray*}$

gewinnen und durch Einsetzen in (2)

$\begin{eqnarray*} \sigma^2(w_a)=(1-\frac{r_p-r_m}{r_a-r_m})^2{\sigma_m}^2+(\frac{r_p-r_m}{r_a-r_m}\sigma_a)^2+2(1-\frac{r_p-r_m}{r_a-r_m})\frac{r_p-r_m}{r_a-r_m}\sigma_{ma}~=~(\sigma_m^2+\sigma_a^2-2\sigma_{ma})(\frac{r_p-r_m}{r_a-r_m})^2+(2\sigma_{ma}-2\sigma_m^2)(\frac{r_p-r_m}{r_a-r_m})+\sigma_m^2 \end{eqnarray*}$

Auflösen nach $\begin{eqnarray*} r_p \end{eqnarray*}$ möglich, aber aufwendig. Dennoch wird dann deutlich, warum deine Begründung zutreffend ist. Dabei sind r exogen vorgegebene erwartete Renditen von Portfolios und $\begin{eqnarray*} \Sigma_{ij} \end{eqnarray*}$ exogen gegebene Kovarianzen bzw. Varianzen der Portfolios. $\begin{eqnarray*} w_a \end{eqnarray*}$ sind Wertpapieranteile. Naja, das nur zur Vollständigkeit - die Frage ist ja beantwortet. Vielen Dank für deine Hilfe!

P.S.: Habe einige Fehler aus dem Anfangspost korrigiert.

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