Menge von Funktionen, Basis

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s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »
Menge von Funktionen, Basis
Hallo!
Bei dieser Aufgabe hier weiß ich nicht, was ich machen soll.

Es bezeichne Abb(, ) die Menge aller Funktionen f, welche die reellen Zahlen in sich abbilden. Eine Menge von n Funktionen {,...,} aus Abb(, ) heißt linear unabhängig, wenn aus der Eigenschaft
*(x) + ... + *(x) = 0 für alle x
folgt, dass die reellen Zahlen ,..., identisch verschwinden.
Bestimmen Sie eine Basis des Unterraumes U von Abb(, ), welcher durch die folgenden Funktionen aufgespannt wird:
a) 2 sin(x) + x
b) 2 cos(x) +
c) + 2x + 2
d) cos(x) + sin(x)
e) sin(x) +
f) cos(x) + 1

HINWEIS: Eine Funktion f Abb(, ) heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl B 0 igbt, so dass der Betrag von f für alle x kleiner oder gleich B ist.
Die Funktionen cos(x) und sin(x) sind in diesem Sinne beschränkt, während eine nicht-konstante polynomiale Funktion auf niemals beschränkt ist!


Die Definition oben mit der lin Unabhängigkeit ist mir klar. Ich weiß nur nicht wie ich die lineare Unabhkeit bei Funktionen prüfe. Da hab ich doch nur eine Gleichung und mehrere Unbekannte. Muss ich dann jeweils die Ableitung für die nächsten Gleichungen nehmen (so hab ichs in Wikipedia gefunden)?
Wie ich die Basis bestimmen soll, da hab ich keine Ahnung, bei Vektoren weiß ich wie's geht, aber hier nicht.
Und was hat die Beschränktheit damit zu tun? ( d) und f) sind doch beschränkt oder?)

Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Funktionen, Basis
Mit Ableitungen hat das erstmal nichts zu tun. Wir fangen mal als Beispiel mit der linearen Unabhängigkeit von a) und b) an:
Sei
Setzen wir x=0 ein, so ist , also s=0 und da (2sin(x)+x) nicht die Nullfunktion ist, muss auch r=0 sein. Die Funktionen von a) und b) sind also linear unabhängig. (Die Beschränktheit von Funktionen kann insofern hilfreich sein, als dass eine beschränkte und eine unbeschränkte Funktion nicht linear abhängig sein können.)

Nun ist es aber nicht sehr sinnvoll, alle möglichen Kombinationen von Funktionen auf lineare Abhängigkeit zu überprüfen, wenden wir uns lieber dem Unterraum U zu. Der erste Schritt ist es jetzt, herauszufinden, welche Dimension U maximal haben kann. Welche Dimension hat U mindestens? Finden sich unter den gegebenen Funktionen lineare Abhängigkeiten? (Etwas Probieren muss man dabei, aber es findet sich was)
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Funktionen, Basis
Wichtig ist noch folgendes: Gleichungen wie



müssen bei der linearen Unabhängigkeit für alle x aus R gelten. Also kann man so viele x'e einsetzen wie man will.
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Funktionen, Basis
Habe rausgefunden, dass d+f, a+e und b+c linear abhängig sind. Stimmt das?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Funktionen, Basis
Nicht wirklich! Wie kommst Du darauf?
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Funktionen, Basis
bei d und f habe ich
r*(cos(x)+sin(x)) + s*(cos(x)+1) = 0 gesetzt
für x=0: r(1+0) + s(1+1) =0
r + 2s = 0, also r= -2s
daraus hab ich geschlossen, dass sie linear unabhängig sind.
Aber für x= 0,75* z.B. stimmt es ja nicht, denn da ist cos(x)+sin(x)=0
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Funktionen, Basis
Aus r=-2s erhältst Du ja noch keine Aussage. Setzt Du aber zusätzlich noch x= ein, so ist r*(0-1)+s*(0+1)=0, also r=s. Damit muss dann aber r=s=0 gelten, also linear unabhängig.

Das könnte man jetzt ohne Ende weitermachen, es bringt aber nicht viel (je zwei Funktionen aus dieser Aufgabe sind nämlich immer linear unabhängig). Ein weiteres Vorgehen habe ich ja bereits oben hingeschrieben.
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Funktionen, Basis
Was bringt es mir, wenn die Funktionen linear unabhängig sind? Ich weiß nicht was für einen Unterraum die Funktionen aufspannen. Spannen sie nicht einfach den R^2 auf? Sry, aber das mit den Funktionen verwirrt mich total!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Funktionen, Basis
Also mit dem R² hat das absolut gar nichts zu tun. Die Funktionen f:R->R bilden einen unendlichdimensionalen Vektorraum, sowas wie cos(x) ist hier eben ein Vektor. Man kann sie addieren und mit Skalaren multiplizieren, die Nullfunktion ist das Neutrale Element. Funktionen wie sin(x) und cos(x) sind linear unabhängig, da sie keine Vielfachen voneinander sind, sin(x)+x, cos(x)+x und sin(x)-cos(x) sind dagegen linear abhängig, da die letzte Funktion gerade die Differenz der ersten beiden ist.
In unserem Fall wird U von sechs Funktionen erzeugt, also ist dim(U)<=6, man sieht auch, dass U ein Unterraum von span(1,x,x²,x³,sin(x),cos(x)) ist und die Frage ist, ob die Funtkionen a)-f) linear unabhängig sind. Dies sind sie aber nicht, denn es findet sich eine Funktion, die sich als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Das musst Du nun zeigen. Was lässt sich dann über U aussagen?
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Funktionen, Basis
Ich kann alle Funktionen außer die e) als Linearkombination darstellen, denn 2a + b - c - 4d + 2f =0 (hab jetzt jeweils die Buchstaben für die Funktionen genommen)
e) passt wegen dem x^3 nicht rein. Aber du hast ja gesagt, dass alle linear abhängig sind. Wie geht das mit dem x^3?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Funktionen, Basis
Zitat:
Original von s1mathe
e) passt wegen dem x^3 nicht rein.


Richtig, und deswegen ist diese Funktion auch nicht im Span der anderen enthalten. Du kannst sie also sozusagen aus deinen Betrachtungen herausnehmen.

Zitat:
Original von s1mathe
2a + b - c - 4d + 2f =0


Ich hab das jetzt nicht nachgerechnet, aber wenn das stimmt, hast du hier eine lineare Abhängigkeit gefunden. Nun fragt sich, ob du eine der Funktionen a,b,c,d,f rausschmeißen kannst, so dass die verbleibende Menge linear unabhängig ist. Ist das der Fall hast du (mitsamt der Funktion e) einen 5-dimensionalen Vektorraum.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Funktionen, Basis
Zitat:
2a + b - c - 4d + 2f =0

Ja, stimmt.

Zitat:

Aber du hast ja gesagt, dass alle linear abhängig sind. Wie geht das mit dem x^3?

Du missverstehst meine Aussage. Ich sagte: "je zwei Funktionen aus dieser Aufgabe sind nämlich immer linear unabhängig", das heißt nicht, dass die Menge {a,...,f} linear unabhängig ist. Du hast eine lineare Abhängigkeit gefunden und kannst somit einen Vektor (natürlich nicht e!) entfernen, ohne das Erzeugnis zu verändern.

Als nächstes müssen wir zeigen, dass die verbliebenen fünf Vektoren linear unabhängig sind. Dazu schauen wir uns einen Vektorraum W mit Basis {1,x,x²,x³,sin(x),cos(x)} an. U ist ein Unterraum von W und die Vektoren aus U lassen sich als Linearkombination der Basisvektoren von W schreiben. Die Funktion a entspricht dann (0,1,0,0,2,0). Verfährt man mit den restlichen vier Funktionen so, sieht man dann bald, dass sie linear unabhängig sind.

=> Dim(U)=5
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs durchgerechnet, die fünf Vektoren sind lin unabh. Das ist ja egal welchen man von a, b, c, d, f rausschmeißt oder? Sind ja immer lin unabh, wenn einer fehlt.
Ist die Basis von dem Vektorraum W, von dem du gesprochen hast, nicht auch die Basis von U?
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Quatsch, die Basis, die du angeben hast, hat ja 6 Elemente, aber U hat die Dimension 5, dh die Basis von U darf nur 5 Elemente haben.
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Aber welche? Die Funktionen lassen sich doch nur aus 1,x,x^2,x^3,sinx und cosx kombinieren.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

a) 2 sin(x) + x
b) 2 cos(x) +x²
c) x² + 2x + 2
d) cos(x) + sin(x)
e) sin(x) + x³
f) cos(x) + 1
(Damit ich nicht immer hochscrollen muss Augenzwinkern )

Wie gesagt:
c entspricht (2,2,1,0,0,0)
f entspricht (1,0,0,0,0,1)
a entspricht (0,1,0,0,2,0)
b entspricht (0,0,1,0,0,2)
e entspricht (0,0,0,1,1,0)
d entspricht (0,0,0,0,1,1)
(schon mal passend angeordnet)

Wenn Du jetzt beispielsweise c entfernst, siehst Du, dass die verbliebenen Vektoren linear unabhängig sind. Aber wenn Du das sowieso schon nachgerechnet hast, ist diese Argumentation ja überflüssig.

Eine Basis von U ist jede maximale linear unabhängige Teilmenge in U. Welche lin.unabh. Teilmengen von U kennst Du denn??? (Zaunpfahl!)
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