cebysev systeme / teschbyscheff

24.11.2008, 00:14	freela	Auf diesen Beitrag antworten »
cebysev systeme / teschbyscheff hallo, ich habe eine frage zu einem bsp für cebysev systeme: wir haben in dem skript den charakterisierungssatz für cebysev systeme Für eine natürliche zahl n seien n K wertige funktionen $\begin{eqnarray} u_1, ... , u_n \end{eqnarray}$ (Abbildungen von M nach K) auf einer Menge der Kardinalität $\begin{eqnarray} \mid M \mid \geq n \end{eqnarray}$ gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. a) Für jede n elementige Teilmenge { $\begin{eqnarray} z_1, ... , z_n \end{eqnarray}$ } in M gilt, dass die Vandermonddeterminante von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u_1(z_1) & ... & u_1(z_1) \\ u_2(z_1) & ... & u_2(z_1)\\ ....\\ u_n(z_1) & ... & u_n(z_n) \end{pmatrix} \neq 0 \end{eqnarray}$ b) Jede nichttriviale Linearkombination von $\begin{eqnarray} u_1, ... , u_n \end{eqnarray}$ hat höchstens n-1 Nullstellen in M. c) Für jede n-elementige Teilmenge Z = { $\begin{eqnarray} z_1, ... , z_n \end{eqnarray}$ } in M sind die Funktionen $\begin{eqnarray} u_1{\|_Z} , ... , u_n{\|_Z} \end{eqnarray}$ linear unabhängig. Nun ist das folgende Bsp gegeben: $\begin{eqnarray} sin_j(x) = sin(jx), cos_j(x)=cos(jx) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x /in \mathbb R \end{eqnarray}$ Die endliche Folge $\begin{eqnarray} (1, cos, sin, cos_2, sin_2, ... , cos_n, sin_n) \end{eqnarray}$ bildet für jedes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ - Cebysev System auf $\begin{eqnarray} (-\pi, \pi] \end{eqnarray}$ Kann mir jmd sagen, wie ich leicht erkenne, dass es sich bei dieser Folge um ein cebysev system handelt? (mglst ohne dabei auf die theorie der fourier koeffizienten zurück zu greifen)

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