Aut(Z/nZ) isomorph zu Z/nZ |
| 24.11.2008, 12:59 | toasten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Aut(Z/nZ) isomorph zu Z/nZ könnt ihr mir bitte weiterhelfen. Ich soll für und deren Automorphismengruppe zeigen, dass isomorph zu ist. Leider habe ich keine Ahnung wie ich da rangehe :-( Vielen Dank für jede Hilfe Gruß toasten |
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| 24.11.2008, 14:51 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aut(Z/nZ) isomorph zu Z/nZ Da hier nichts weiter steht, erst mal ein paar grundsätzliche Fragen: Was ist denn überhaupt ? Wie viele Elemente hat diese Gruppe jeweils? Welche Elemente sind das? Wie sieht für p=3 und p=4 aus ? |
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| 24.11.2008, 18:07 | toasten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aut(Z/nZ) isomorph zu Z/nZ Hi,
sorry, ich dachte, dieser Schreibweise wäre standartisiert: \ wäre ja keine Gruppe, da es zur Null kein Inverses gibt (Division durch Null geht nicht).
Diese Gruppe hat dann jeweils n Elemente: . Hast du einen Tipp? Danke toasten |
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| 24.11.2008, 18:11 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Üblicherweise bezeichnet doch ( Z / nZ )* die Einheitengruppe. Falls n nicht prim ist, gibt es auch Elemente ungleich Null, die trotzdem nicht invertierbar sind, z.B. der Repräsentant der 2 in Z / 4Z. |
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| 24.11.2008, 18:15 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aut(Z/nZ) isomorph zu Z/nZ Hi, Doch die Schreibe ist standardisiert, es ging eher darum, ob Du weißt, was diese Gruppe ist und leider ist dies nicht der Fall. Die Schreibweise steht für die multiplikative Untergruppe. Wir nehmen uns mal als Beispiel (auf die Querstriche verzichte ich der Faulheit halber) Nun gibt es aber Elemente, die kein multiplikatives Inverses haben (welche?) und daher ist das keine Gruppe. Wie kann man das Ganze aber zu einer Gruppe machen? |
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| 24.11.2008, 18:52 | toasten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aut(Z/nZ) isomorph zu Z/nZ ahh, stimmt... Es ist eine Gruppe. Da würde mir jetzt einfallen eine Fallunterscheidung zu machen: n prim oder nicht prim. Mein Problem ist nur, dass ich mit dem zeigen von Isomorphie immer meine Probleme habe, da ich nicht weiß, wie ich damit umgehen soll :-( auf Anhieb weiß ich auch immer nur den Weg einen bijektiven Isomorphismus anzugeben zwischen den beiden Gruppen... aber den zu finden :-( |
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| 24.11.2008, 18:59 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aut(Z/nZ) isomorph zu Z/nZ Gut, soweit richtig. Fallunterscheidung brauchen wir nicht. Sei jetzt f ein Automorphismus von Z/nZ. Was können wir über das Bild von 1 sagen? Welche Elemente kommen dafür in betracht und warum? Edit: Beachte, dass wir hier nur die additive Gruppe Z/nZ betrachten, also f(a+b)=f(a)+f(b). |
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| 24.11.2008, 19:14 | toasten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aut(Z/nZ) isomorph zu Z/nZ hmm... na wenn man die additive Gruppe Z/nZ benutzt, dann kommt für das Bild von 1 doch eigentlich auch jedes Element von Z/nZ in Betracht, oder 
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| 24.11.2008, 19:22 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aut(Z/nZ) isomorph zu Z/nZ Nö, Null kann es nicht sein, denn ein Homomorphismus bildet das triviale Element ja immer wieder auf sich selbst ab: f(0)=0, und da f bijektiv ist, ist dies auch das einzige Element. Und ansonsten schau Dir doch das Beispiel Z/4Z an. Was passiert, wenn f(1)=2 ist? Was ist dann f(1+1)? Kann das sein? |
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| 24.11.2008, 20:18 | toasten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aut(Z/nZ) isomorph zu Z/nZ Nein, das kann nicht sein, denn f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2+2=4=0 (mod 4) |
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| 24.11.2008, 21:19 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aut(Z/nZ) isomorph zu Z/nZ Na ein wenig weiter hättest Du dann auch denken können, sonst werden wir ja hier nie fertig. Also die Elemente der multiplikativen Gruppe (Z/nZ)* sind gerade die Elemente, die teilerfremd zu n sind. Ein Automorphismus von Z/nZ bildet ein Element aus (Z/nZ)* auch immer wieder auf (Z/nZ)* ab, sonst gibt es wie oben den Widerspruch. Mache Dir das alles klar, frage zur Not nach, denn es geht weiter. Wir wollen eine Abbildung A von Aut(Z/nZ) nach (Z/nZ)* finden. Also haben wir als Argument einen Automorphismus f und wollen diesen nun auf ein Element aus (Z/nZ)* abbilden. Das einzige Element, das mit Sicherheit für jedes n in (Z/nZ)* liegt ist die 1 und da es nicht sehr sinnvoll ist A(f)=1 zu definieren (wäre mit Sicherheit kein Isomorphismus) und das Bild ja auch irgendwas mit f zu tun haben muss, definieren wir A(f):=f(1). Langer Rede kurzer Sinn: A bildet den Automorphismus f auf das Gruppenelement f(1) ab und wir müssen nur noch zeigen, dass diese Abbildung linear und bijektiv ist. Hinweis: Zur Linearität benötigst Du ja auf Aut(Z/nZ) ein Gruppenstruktur, die zugehörige Verknüpfung ist hier die Hintereinanderausführung und das macht es nicht ganz so offensichtlich. Ein Ansatz sollte von Dir aber mindestens drin sein. Injektivität ist relativ einfach zu zeigen, man muss nur wissen, was das neutrale Element in ist. |
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| 30.11.2008, 22:35 | toasten | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aut(Z/nZ) isomorph zu Z/nZ Hi, sorry dass ich jetzt erst antworte - war leider verhindert... Trotzdem nochmal danke für deine Hilfe. toasten |
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