Basis finden

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strato Auf diesen Beitrag antworten »
Basis finden
Man soll eine Basis des Unterraums im Vektorraum finden. Aufgespannt von den folgenden Vektoren:






Ich habe durch umformen die Matrix auf die Stufenform gebracht:

-2 -6 -2 -4
0 -14 -4 -6
0 0 -4 -4
0 0 0 -4

Ist das so korrekt?
Da sich keine Nullzeile ergeben hat, sind die Vektoren lin. unabh. --> eine Basis.


Ich bin mir nicht sicher, ob die Aufgabe damit gelöst ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis finden
Irgendwie ist das hier etwas seltsam formuliert. Gegeben sind 4 Vektoren eines VR, deren Erzeugnis ist ein UVR. Gesucht ist eine Basis des Erzeugnisses.

Der Gaussalgorithmus verrechnet Vielfache von Zeilenvektoren miteinander (Linearkombinationen). Daher sind bei der Basissuche die Vektoren in Zeilen einzutragen. Leider sieht man bei dir die Ausgangsmatrix nicht und schon die erste Zeile gibt mir Rätsel auf.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis finden
@tigerbine: die Ausgangsmatrix steht doch da, nur etwas ungewöhnlich geschrieben.

@strato: in der zweiten Zeile ist (-14) mod 7 = 0. Mit weiteren Umformungen erhältst du dann eine Nullzeile.
strato Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Aber das würde dann ja bedeuten, dass es keine Basis ist, oder?

Wäre irgendwie seltsam, da die Aufgabe so formuliert ist als wäre es ganz sicher, dass eine Basis existiert...aber gut, das muss ja nichts bedeuten. Augenzwinkern

Oder ich habe schon zuvor bei den Umformungen einen Fehler gemacht.

Aber wenn ich jetzt weiter umforme, und dann auf eine Nullzeile komme, ist die Aufgabe gelöst?

Die Lösung wäre dann ja, dass es von diesen Vektoren keine Basis gibt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis finden
Zitat:
Original von klarsoweit
@tigerbine: die Ausgangsmatrix steht doch da, nur etwas ungewöhnlich geschrieben.


Augenzwinkern so kann man das sehen. Ich verstehe dennoch nicht, wie man dann auch die erste Zeile der Dreiecksmatrix kommt. Ich hätte die, da schon 1 auf Pos 11, die erste Zeile der Ausgangsmatrix gerade übernommen. verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von strato
Aber das würde dann ja bedeuten, dass es keine Basis ist, oder?

Wäre irgendwie seltsam, da die Aufgabe so formuliert ist als wäre es ganz sicher, dass eine Basis existiert...aber gut, das muss ja nichts bedeuten. Augenzwinkern

Ja, die bilden keine Basis. Natürlich existiert eine Basis. Dazu brauchst du nur die Nicht-Nullzeilen deiner Matrix nehmen, wenn die auf Zeilenstufenform ist.
 
 
strato Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis finden
Zitat:
Original von klarsoweit

@strato: in der zweiten Zeile ist (-14) mod 7 = 0. Mit weiteren Umformungen erhältst du dann eine Nullzeile.


Es ist schon richtig, dass ich die ganze zweite Zeile mit mod 7 umforme, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis finden
Ja.
strato Auf diesen Beitrag antworten »



Bei mir sieht die Matrix jetzt so aus.



klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du 8 noch mod 7 nimmst, dann könnte man sich damit anfreunden. Augenzwinkern
strato Auf diesen Beitrag antworten »



so. Augenzwinkern

Dann ist das jetzt die Basis und die Aufgabe ist erfüllt?!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die 3 Nicht-Null-Zeilen als Vektor geschrieben bilden dann eine Basis. Ich habe allerdings nicht nachgerechnet, wie du auf die erste umgeformte Matrix gekommen bist. Wenn das alles stimmt, ist die Aufgabe erfüllt. smile
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