Grenzwertprobleme...

30.08.2006, 13:56

eypsilon2312

Grenzwertprobleme...

Hallo!!

Kann mir vielleicht jemand beim Einstieg in die folgende Aufgabe helfen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Als Lösung soll hier wohl 2 rauskommen... L'Hospital kann ich hier wegen "0x0" nicht anwenden... Kann ich das irgendwie umformen?

Zweite Frage: wie gehe ich die Bestimmung des Konvergenzradiuses einer Aufgabe mit verschiedenen Exponenten wie im folgenden Beispiel an:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 2^{n} n^{2} x^{2n} \end{eqnarray*}$

Der Konvergenzradius lautet hier laut Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im voraus!

edit: in der ersten Aufgabe hat das Minus gefehlt...

30.08.2006, 14:01

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{\sqrt{n+1}\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}~\frac{1}{n\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

Das solltest du können.

\\edit:sorry hatte da noch das mal gesehn.

30.08.2006, 14:05

Ambrosius

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erweitere den Bruch mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ . Wende dann im Nenner die 3. binomische Formel an und vereinfache den Bruch. Dann kommt auch 2 raus.

30.08.2006, 14:18

eypsilon2312

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Hat funktioniert Danke!! Freude

Bleibt noch die zweite Frage Big Laugh

30.08.2006, 14:22

klarsoweit

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RE: Grenzwertprobleme...

Zitat:

Original von eypsilon2312
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 2^{n} n^{2} x^{2n} \end{eqnarray*}$

Was hat das jetzt mit Konvergenzradius zu tun?
Wie dem auch sei. Substituiere x²=y.

30.08.2006, 14:25

Ambrosius

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zunächst mal: Hierfür gebe ich keine Garantie, da ich mir nicht sicher bin, ob das so korrekt ist:

Man darf jedenfalls Potenzreihen ineinander einsetzen!

Also hast du $\begin{eqnarray*} = 2^n \cdot n^2 \cdot x^{2n} = 2^n \cdot n^2 \cdot (x^2)^n \end{eqnarray*}$

Setze nun $\begin{eqnarray*} a_n := 2^n \cdot n^2 \end{eqnarray*}$ und berechne den Konvergenzradius.

EDIT: Konvergenzradien sind übrigens nur für Potenzreihen sinnvoll.

30.08.2006, 14:44

eypsilon2312

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Uppppsss... Sorry, bin wohl leicht daneben heute... Es muss natürlich heißen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ 2^{n} n^{2} x^{2n} \end{eqnarray*}$

dann kann ich das Wurzelkriterium anwenden und erhalte dann mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x^{2} = z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} = \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{2^{n}n^{2}}= 2\cdot \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n^{2}}= 2\Rightarrow r=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Rücksubstitution ergibt dann $\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Aber jetzt die Frage: darf ich überhaupt so substituieren und ist die Rücksubstitution so auch korrekt?

30.08.2006, 14:58

klarsoweit

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Ich wüßte nicht, was dagegen sprechen sollte.
Das ist natürlich keine mathematische Begründung, aber mit der Definition des Konvergenzradius sollte man das herleiten können.

30.08.2006, 17:16

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Ja, dass ist sauber. In der Originalpotenzreihe bzgl. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist ja jeder zweite Koeffizient 0. Diese Null-Koeffizienten "stören" aber nicht bei der Anwendung der allgemeinen Konvergenzradiusformel

$\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \end{eqnarray*}$ .

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