Gleichungssystem

24.11.2008, 13:48

strato

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Gleichungssystem

Hallo!

Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Für welche $\begin{eqnarray*} a, b, c, d \in R \end{eqnarray*}$ ist das Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ lösbar?

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2-x_4=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1-x_2+x_3-x_4=b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x_1-x_3+2x_4=c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x_2+x_3=d \end{eqnarray*}$

Wenn ich hier die dritte Gleichung zur zweiten addiere, dann bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} -x_1-x_2+x_4=b+c \end{eqnarray*}$

Wenn ich diese Gleichung nun zur ersten addiere, dann bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} 0=a+b+c \end{eqnarray*}$

Kann das so stimmen?

24.11.2008, 14:03

tigerbine

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RE: Gleichungssystem
Wie sieht das ganze denn in der Form Ax=b aus?

Bringe die Matrix auf Zeilenstufenform, und arbeite die Fälle ab.

25.11.2008, 08:45

strato

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In der Form Ax=b? Stehe irgendwie gerade auf dem Schlauch... :/ bzw. was ist damit gemeint?

Und ich soll mit der Matrix also dasselbe machen wie beim suchen einer Basis eines Vektorraumes? (du hast meine andere Aufgabe ja gesehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

).
Also, dass "links" möglichst 0 steht bzw. möglichst viel wegfält.

25.11.2008, 08:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von strato
In der Form Ax=b? Stehe irgendwie gerade auf dem Schlauch... :/ bzw. was ist damit gemeint?

Eben diese Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und ja, die Matrix zusammen mit der rechten Seite mußt du auf Zeilenstufenform bringen.

25.11.2008, 11:51

strato

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Ich habe umgeformt (hoffentlich habe ich das mit der rechten Seite richtig gemacht):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b+c \\ b \\ 2b+c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sollte das stimmen, dann könnte ich jetzt durch umformen ja noch eine weitere Nullzeile erzeugen.
Kann das sein?

25.11.2008, 12:03

klarsoweit

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Ist ok. Um den lästigen x-Vektor nicht immer mitzuschleppen, kann man einfacher diese erweiterte Matrix nehmen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & a+b+c \\ 1 & -1 & 1 & -1 & b \\ 0 & -2 & 1 & 0 & 2b+c \\ 0 & -2 & 1 & 0 & d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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25.11.2008, 12:15

strato

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Gut.

smile

Also, wenn ich jetzt eine weitere Nullziele erzeuge, dann sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & a+b+c \\ 1 & -1 & 1 & -1 & b \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2b+c-d \\ 0 & -2 & 1 & 0 & d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich addiere die mit -1 multiplizierte vierte Zeile zu der dritten Zeile.

25.11.2008, 12:43

klarsoweit

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OK. Wenn du noch etwas Zeilen vertauscht, dann hast die Matrix in Zeilenstufenform. Welche Bedingungen kannst du jetzt bezüglich der Lösbarkeit ablesen?

25.11.2008, 14:25

strato

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Hm, für eindeutige Lösbarkeit müssten die Diagonalelemente doch alle ungleich 0 sein, oder?

25.11.2008, 14:45

klarsoweit

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Das stimmt zwar. Es geht aber nicht um die eindeutige Lösbarkeit, sondern um die Lösbarkeit als solche. Desweiteren müssen in der rechten Spalte (die ja deine rechte Seite der Gleichung darstellt) Nullen sein, wo du in der nicht erweiterten Matrix Nullzeilen hast.

25.11.2008, 14:57

strato

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & b \\ 0 & -2 & 1 & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also so?

Unendlich viele Lösungen gibt es nicht, da es gleiche viele Gleichungen und Unbekannte gibt.

Aber ich muss für a,b,c,d ja konkrete werte finden. :/

25.11.2008, 15:11

klarsoweit

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Kleines Mißverständnis. Ich habe gesagt, daß in der rechten Spalte Nullen sein müssen, wo links davon nur Nullen sind. Das heißt aber nicht, daß du da einfach eine Null reinsetzen kannst.

Also diese Form haben wir: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & b \\ 0 & -2 & 1 & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a+b+c \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2b+c-d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und diese Form brauchen wir: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & b \\ 0 & -2 & 1 & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ein Vergleich ergibt die Bedingungen.

25.11.2008, 15:16

strato

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Achso.

Ein Vergleich?

Habe ich jetzt nicht im Prinzip einfach 4 Gleichungen? Zwischen der lniken und der rechten Seite steht doch ein "=".

Aber ich kann die a,b,c,d ja auch nicht einfach ausrechnen.

Weiß ehrlichgesagt nicht, wie ich hier vorzugehen habe.

25.11.2008, 15:35

klarsoweit

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Wo oben a+b+c steht, steht unten eine Null. Und wo oben 2b+c-d steht, steht unten eine Null. Daraus ergeben sich 2 simple Bedingungen.

25.11.2008, 16:14

strato

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2b+c-d=0 und a+b+c=0 ?

25.11.2008, 17:38

klarsoweit

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So ist es.

27.11.2008, 17:39

strato

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Kann ich daraus jetzt einfach folgern:

$\begin{eqnarray*} a+b+c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=-a-c \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 2b+c-d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=2b+c \end{eqnarray*}$

?

27.11.2008, 17:44

klarsoweit

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Von mir aus. Ob's was bringt, ist ne andere Frage. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.11.2008, 17:49

strato

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Hm...nun, was soll ich denn mit diesen zwei Bedingungen machen?

Muss ich nicht für a, b, c, d die Gleichungen aufstellen?

27.11.2008, 18:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von strato
Hm...nun, was soll ich denn mit diesen zwei Bedingungen machen?

Am besten fragst du da mal den Aufgabensteller.

27.11.2008, 18:41

strato

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Hm...habe von anderen die Lösung gesehen und die haben das im Prinzip genauso gemacht; scheint aber wohl falsch zu sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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