Körper + Vektorraum

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sing Auf diesen Beitrag antworten »
Körper + Vektorraum
Hallo
Habe folgende Aufgabe:

Es sei K= der 2-elementige Körper, und K[x] bezeichne den zugehörigen Vektorraum der Polynome über . Dann ist
[x] := {f K[x] / deg(f) 10 } {0}
ein Untervektorraum von K[x].

1. Wieviele Elemente besitzt [x] ?
2. Geben Sie eine Basis von [x] über K= an.

Habe mir zu der 1 folgende Gedanken gemacht: Der Grad der Polynome ist höchstens 10. Dann habe ich doch 2^11 Möglichkeiten ein solches Polynom aufzustellen (wenn ich bei i=0 anfange). Heißt das ich habe 2^11 Elemente?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper + Vektorraum
Kurze Antwort: Ja, 2^11 ist richtig.
sing Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper + Vektorraum
und wie bestimme ich jetzt die Basis?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper + Vektorraum
Na nimm doch mal zwei Elemente, z.B. und her, sind die linear abhängig?

Oder andere Richtung: Kannst Du ein Erzeugendensystem angeben? (Ist wirklich nicht schwer).
Ist dieses nun linear unabhängig?
sing Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper + Vektorraum
Also die Elemente sind allle linear unabhängig.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper + Vektorraum
Quatsch! Die Menge ist offensichtlich nicht linear unabhängig.
 
 
Penthesiliea Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich kämpfe gerade mit der selben Aufgabe^^

Mit meiner Basis muss ich doch alle Elemente darstellen können und gleichzeitig muss sie linear unabhängig sein, d.h. muss gelten. Richtig so?

LG und vielen Dank an alle, die die Matheanfänger so unterstützen, ist echt klasse

Penthesilea
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
muss gelten. Richtig so?

Nein, denn x*Basis ergibt keinen Sinn. Wenn eine Linearkombination der Basiselemente Null wird, also , so sind alle .

Am besten ist es, zuerst mal ein Erzeugendensystem zu finden. (Eigentlich ist das naheliegendste dann auch gleich eine Basis)
Penthesilea Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke für deine Antwort

eigentlich kann ich ja alle Elemente von so darstellen:



allerdings dürfen ja nicht alle ai=0 sein, denn sonst wäre es ja linear abhängig. Könnte ich dann eine 1 vor das summenzeichen setzten und bei i=1 beginnen?

(über dem summenzeichen soll 10 stehen, aber das klappt irgendwie nicht, sorry)

LG
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal muss die Summation bei Null losgehen, und wenn alle sind hat das nichts mit linearer Abhängigkeit zu tun, sondern so stellt man einfach das Nullpolynom dar.

Die Aussage

bedeutet, dass linear unabhängig sind.

btw: latex-code: \sum_{i=0}^{10}a_ix^i
sing Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zu dem, was ich geschrieben hab. Ist mir jetzt klar, dass die Elemente nicht alle linear unabhängig sind. Wenn ich jetzt eine Basis angeben soll: Die besteht doch aus Vektoren, die linear unabhängig sind und mit denen ich alle Elemente, also alle Polynome (bis deg=10) darstellen kann. (Sind das die Vektoren (1,0,0,0,0,0,0,0,0,0), (0,1,0,...0), (0,0,1,0,...0) usw bis (0,...,0,1)?) Ich kann mit dem x nichts anfangen.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich kann mit Deinen Vektoren nichts anfangen. geschockt
Du musst Dich daran gewöhnen, dass die Vektoren hier Polynome sind. Rechne nach, dass ein Vektorraum über ist, er erfüllt sämtliche Forderungen!


Eigentlich hast Du das schon recht gut erkannt, aber es ist in meinen Augen nicht sehr sinnvoll jetzt über die klassische Schreibweise der Vektoren zu argumentieren, da Du dazu erstens darstellen müsstest, weshalb diese Analogie gilt und zweitens diese Polynome einen schönen Beginn für andere Darstellungen von Vektorräumen bieten.
(Letztlich lassen sich aber die Polynome auch mit Vektoren in der klassischen Schreibweise identifizieren, Du musst nur sagen, welches Polynom z.B. (1,0,...,0) darstellen soll u.s.w.)

Versuche doch einfach mal Polynome zu finden, mit deren Linearkombinationen ich den kompletten darstellen kann.

Gute Nacht.
Schläfer
sing Auf diesen Beitrag antworten »

Mit 1,x,x^2,x^3,....x^10 kann ich alle Elemente des K10[x] darstellen.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Und was kann man dann bezüglich einer Basis von daraus folgern? Das ist hier kein Frage-Antwort-Spiel, Du darfst auch gerne selbst weiter denken.
s1mathe Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist die Basis B=(1,x^2,...x^10) oder wie schreibe ich das auf?
B= {{1}, {x^2},..., {x^10}} ?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Die Basis ist eine Menge, die Vektoren sind hier Polynome. Es ergibt sich also:

(x nicht vergessen!)
sing Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das also die Lösung?
Einfach diese Basis angeben?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, B ist linear unabhängig und erzeugt den ganzen Vektorraum .

Bonusaufgabe:
Wir haben ja betrachtet. Wie sieht eine Basis von aus, wenn ich oder annehme?
stadium Auf diesen Beitrag antworten »

Reksilat, bist Du Dir sicher, dass es 2^11 Elemente sind?
Ich komm auf 4084 Elemente. Es gibt doch für z.b. n=1 ja schon 3 Polynome, nämlich 0+(a_1)*x, (a_0)+0 und (a_0)+(a_1)*x, seh ich das richtig?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Was sind denn und ? verwirrt

Für n=1 ist , also Elemente. Allgemein hat genau Elemente. (Natürlich immer )
stadium Auf diesen Beitrag antworten »

Reksilat, Du hast natürlich recht für n=1. Ich hab da völligen Schwachsinn geschrieben. Danke.
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