Welche Konvergenzkriterien

24.11.2008, 19:34

rewe

Welche Konvergenzkriterien

Hallo!

Ich sitze hier gerade vor eineigen Übungsaufgaben und frage mich, ob es bestimmte Tricks o.ä. gibt, um recht schnell zu erkennen, welches Kriterium geeignet ist, um eine bestimmte Reihe auf Konvergenz/Divergenz zu überprüfen.

Z.B. bei folgenden Reihen:

1.) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~n!/n^2 \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~n^aa^n \end{eqnarray*}$ (a größer/gleich 0)

3.) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(-1)^na_n \end{eqnarray*}$ mit ( $\begin{eqnarray*} a_n:=1/n \end{eqnarray*}$ falls n gerade und $\begin{eqnarray*} a_n:=1/n^2 \end{eqnarray*}$ falls n ungerade.)

Welche Konvergenzkriterien sind denn hier zu empfehlen? Und woran erkennt man das?
Oder sollte man einfach solange herumprobieren wie es eben nötig ist...bis man ein wenig Gespür dafür entwickelt hat?!

24.11.2008, 20:21

Dual Space

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RE: Welche Konvergenzkriterien

Zitat:

Original von rewe
Oder sollte man einfach solange herumprobieren wie es eben nötig ist...bis man ein wenig Gespür dafür entwickelt hat?!

Genau so ist es. Freude

Getreu dem Motto: Übung macht dem Meister. Augenzwinkern

25.11.2008, 21:06

rewe

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Wenn ich das richtig verstehe, dann bräuchte ich ja, um die Reihen mit dem Minoraten oder Majorantenkriterium zu überprüfen, einige schon bekannte Reihen, die größer oder kleiner als die zu überprüfende Reihe sind.

Woher bekomme ich denn die? Augenzwinkern

Bei der ersten Aufgabe sieht es doch so aus, als würde der Nenner schneller "wachsen" als der Zähler, bzw. immer größer sein...damit sollte die Reihe doch gegen Null konvergieren?!

26.11.2008, 08:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von rewe
Wenn ich das richtig verstehe, dann bräuchte ich ja, um die Reihen mit dem Minoraten oder Majorantenkriterium zu überprüfen, einige schon bekannte Reihen, die größer oder kleiner als die zu überprüfende Reihe sind.

Woher bekomme ich denn die? Augenzwinkern

Man sollte eben ein paar häufig wiederkehrende Reihen kennen. Augenzwinkern

Zitat:

Original von rewe
Bei der ersten Aufgabe sieht es doch so aus, als würde der Nenner schneller "wachsen" als der Zähler, bzw. immer größer sein...damit sollte die Reihe doch gegen Null konvergieren?!

Erstmal wächst bei der ersten Reihe der Zähler schneller als der Nenner. Zweitens müssen Reihen, bei denen der Nenner schneller wächst als der Zähler, nicht gegen Null konvergieren (siehe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ ) oder überhaupt konvergieren (siehe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n}{n^2} \end{eqnarray*}$ ). smile

26.11.2008, 12:40

rewe

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Danke.

Also, für das erste Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n!}{n^2} \end{eqnarray*}$

Könnte ich jetzt z.B: die geometrische Reihe hernehmen?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

Und sagen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n!}{n^2} \le \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

und deshalb konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n!}{n^2} \end{eqnarray*}$ ?

Oder welche Gemeinsamkeiten müssen zwei Reihen denn aufweisen, damit man sie so vergleichen darf?

26.11.2008, 13:12

klarsoweit

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Das könntest du sagen, wenn $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^2} \le \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ wäre. Hast du dir dazu schon mal Gedanken gemacht?

Ich hatte dich oben schon korrigiert und darauf hingewiesen, daß der Zähler schneller als der Nenner wächst. Es ist also zu fragen, ob $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^2} \end{eqnarray*}$ überhaupt eine Nullfolge ist.

26.11.2008, 13:30

rewe

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Also wenn der Zähler schneller als der Nenner wächst, dann konvergiert die Folge sicher nicht gegen 0.
Die Frage ist jetzt nur, ob sie überhaupt konvergiert.

Könnte ich das dann z.B. umdrehen?

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^2} \ge \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

26.11.2008, 14:17

Dual Space

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Zitat:

Original von rewe
Die Frage ist jetzt nur, ob sie überhaupt konvergiert.

Nö. Sobald die Folge keine Nullfolge ist erübrigen sich alle weiteren Betrachtungen (notwenigdiges Kriterium zur Reihenkovergenz!!!).

26.11.2008, 14:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von rewe
Könnte ich das dann z.B. umdrehen?

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^2} \ge \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

Du kannst alles machen. Aber es muß
a) eine mathematisch wahre Aussage ergeben und
b) dir irgendwie weiterhelfen.

Was willst du nun mit dieser Ungleichung anfangen? Daß es keine Nullfolge ist, solltest du schon konkreter nachweisen, aber bitte nicht mit so weichen Argumenten wie "Zähler wächst schneller als der Nenner".

27.11.2008, 14:07

pygospa

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Zitat:

Original von rewe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n!}{n^2} \le \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

Ohne mich jetzt zu weit aus dem Fenster zu lehnen (ich beschäftige mich ja selbst gerade erst wieder mit dem Thema) - ist das oben sowieso falsch, bzw. komplizierter.

Denn beim Vergleichskriterium vergleichst Du nicht die kompletten Summen (also die Reihen selbst), sondern den einzelnen Termn (also im Prinzip die Folge über welche sich die Reihe erstreckt). Denn eine Summe über unendlich viele Terme lässt sich ja auch schlecht mit einer Summe über unendlich viele andere Terme vergleichen.

Die Aussage ist doch die, dass wenn die einzelnen Terme immer kleiner/größer sind als bei der Vergleichsreihe, dann kann auch die Summe immer nur kleiner/größer sein.

Oder liege ich mit der Behauptung jetzt falsch?

---

Dann eine Frage zur Aufgabe 3. Lässt sich diese überhaupt per Leibniz-Kriterium lösen? Das ist nämlich das einzige Kriterium, dass wir für alternierende Reihen kennengelernt haben.

- Oder, eine andere Überlegung die mir gerade kommt - wird das Monotonie-Kriterium eh nicht erfüllt, da sowohl ein Verhältnis zwischen: Auf geraden Term folgt ungerader Term, als auch Auf ungeraden Term folgt gerader Term vorgenommen werden muss, es also folglich eine Fallunterscheidung geben muss, in der für beide Fälle die Voraussetzung erfüllt werden muss?

Das wird es sein, oder?

27.11.2008, 14:34

tmo

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Bei der 3) kann das Leibniz-Kriterium nicht angewendet werden.

Die Frage ist ob $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n (-1)^ka_k \end{eqnarray*}$ existiert.

Dazu muss $\begin{eqnarray*} b_n := \sum_{k=1}^n (-1)^ka_k \end{eqnarray*}$ beschränkt sein. Dann ist aber auch die Teilfolge $\begin{eqnarray*} b_{2n} = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^ka_k \end{eqnarray*}$ beschränkt sein.

Mit ein bisschen Überlegung kommt man auf $\begin{eqnarray*} b_{2n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k} - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)^2} \end{eqnarray*}$ .

Ist diese Folge beschränkt?

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