Abschätzung

24.11.2008, 21:24

Dunkit

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Abschätzung

Hallo!
Es geht hier um zwei verschiedene Aufgaben, aber im Prinzip ist es dasselbe Problem Augenzwinkern

Augenzwinkern

Einmal habe ich die Funktion $\begin{eqnarray*} f: D:=[0,1] \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{4} x^2 + 1 \end{eqnarray*}$ . Ich soll untersuchen ob $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| < |x-y| \forall x,y \in D \end{eqnarray*}$ gilt. Bis $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq |x^2-y^2| \end{eqnarray*}$ bin ich schon gekommen, aber wie geht es weiter? Das ist jedenfalls der elementare Ansatz. Eine Teilaufgabe später habe ich nämlich rausgefunden, dass g Lipschitz stetig ist mit $\begin{eqnarray*} L = 0.5 \end{eqnarray*}$ , also gilt $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq 0.5 |x-y| \end{eqnarray*}$ . Daraus kann ich doch eigtl dann auch folgern, dass erst recht $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| < |x-y| \forall x,y \in D \end{eqnarray*}$ gilt, oder nicht?! Trotzdem würde es mich auch interessieren, den elementaren Ansatz weiter zu verfolgen.

Die andere Funktion lautet $\begin{eqnarray*} f: D:= \{z\in\mathbb{C}: \|{z}\| \leq 1 \} \to \mathbb{C}, f(z) = \frac{1}{2}(z^2 + i) \end{eqnarray*}$ . Wieder gilt es zu untersuchen, ob $\begin{eqnarray*} \|f(z) - f(u)\| < \|z-u\| \forall z,u \in D \end{eqnarray*}$ gilt. ich bin wieder bis $\begin{eqnarray*} \|f(z) - f(u)\| \leq \|z^2 - u^2\| \end{eqnarray*}$ aber nicht weiter. Diesmal ist auch die Lipschitz-Konstante 1, also hilft mri die doch auch nicht wirklich weiter?!

Muss noch 2 weitere Aufgaben diesen Typs lösen, also wäre ich für etwas Hilfe bei den beiden dankbar, werde dann gleich auch sicher noch Fragen zu den beiden adneren stellen ;-)

24.11.2008, 23:00

Mathespezialschüler

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Du hast bereits zu grob abgeschätzt. Bei der ersten:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|=\frac{|x^2-y^2|}{4}=\frac{|x+y|}{4}\cdot |x-y|=\frac{x+y}{4}\cdot |x-y| \end{eqnarray*}$ .

Was kannst du über $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ aussagen? Wie groß kann das höchstens werden?

Bei der zweiten geht es ähnlich:

$\begin{eqnarray*} \|f(z)-f(u)\|=\frac{\left\|z^2-u^2\right\|}{2}=\frac{\|z+u\|}{2}\cdot \|z-u\| \end{eqnarray*}$ .

Versuch mal, von da aus weiter zu kommen.

24.11.2008, 23:16

Dunkit

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Ok Danke das habe ich fertig!

Dann noch eine Frage: Die nächste Funktion ist auf Funktionenräumen definiert, um genau zu sein:
$\begin{eqnarray*} f_4: C([0,1]) \to C([0,1]), (f_4(x))(t) = \frac{1}{2}x(t²) + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich da jetzt die Lipschitz-Konstante L mit $\begin{eqnarray*} L = \sup_{x\in D} \| (f_4(x))(t)' \|_\infty \end{eqnarray*}$ berechnen will muss ich doch nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableiten, oder?! Ich erhalte dann $\begin{eqnarray*} L = \sup \|t x'(t²)\| _\infty \end{eqnarray*}$ . Darüber kann ich aber doch ohne genauere Kenntnisse über x garnichts aussagen, oder?! Also erst recht nicht, ob $\begin{eqnarray*} L \in (0,1) \end{eqnarray*}$ , das ist nämlich zu überprüfen...

25.11.2008, 00:51

Mathespezialschüler

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Ich würde das so machen: Für $\begin{eqnarray*} x,y\in C([0,1]) \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} (f_4(x))(t)-(f_4(y))(t)=\frac{1}{2}\cdot (x(\left(t^2\right)-y\left(t^2\right))=\frac{1}{2}\cdot (x-y)\left(t^2\right) \end{eqnarray*}$ .

Was passiert, wenn du da das Supremum drüber jagst?

PS: Was hast du denn bei der zweiten oben raus?

25.11.2008, 10:09

Dunkit

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$\begin{eqnarray*} f_4 \end{eqnarray*}$ hatte ich jetzt schon (aufm anderen Weg) mit Ergebnis $\begin{eqnarray*} L = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten oben komme ich auf $\begin{eqnarray*} L = 1 \end{eqnarray*}$

25.11.2008, 17:47

Mathespezialschüler

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Solltest du bei der zweiten nicht untersuchen, ob sogar $\begin{eqnarray*} \|f(z)-f(u)\|<\|z-u\| \end{eqnarray*}$ gilt? Das Ergebnis dazu hast du mir noch nicht mitgeteilt.

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25.11.2008, 18:07

Dunkit

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Achso das meintest du. Wir sollen nämlich bei allen Fkt auch die Lipschitz-Konstante finden... Dann will ich mal loslegen:
$\begin{eqnarray*} \ldots \frac{1}{2} \|z² - u² \| = \frac{\|z+u\|}{2} \|z-u\| < \|z-u\| \end{eqnarray*}$
der letzte Schritt ist möglich, weil $\begin{eqnarray*} z \neq u \end{eqnarray*}$ vorrausgesetzt ist und damit $\begin{eqnarray*} \|z+u\| < 2 \end{eqnarray*}$

25.11.2008, 18:20

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Dunkit
[...]weil $\begin{eqnarray*} z \neq u \end{eqnarray*}$ vorrausgesetzt ist und damit $\begin{eqnarray*} \|z+u\| < 2 \end{eqnarray*}$

Warum?

25.11.2008, 18:26

Dunkit

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$\begin{eqnarray*} \|z+u\| \leq \|z\| + \|u\| \leq 2 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \|z\| \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|u\| \leq 1 \end{eqnarray*}$ .
Sorry, damit bekomme ich natürlich nur kleiner gleich, was sich dann auch mit der Feststellung besser deckt, dass die Lipschitzkonstante L = 1 ist

25.11.2008, 18:33

Mathespezialschüler

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Nur weil die Lipschitzkonstante Eins ist, heißt das nicht, dass da nicht trotzdem kleiner gelten kann. Hier gilt sogar kleiner, allerdings muss man dafür die Gleichheit ausschließen. Wann würde denn in deiner letzten Ungleichungskette Gleichheit gelten?

25.11.2008, 18:36

Dunkit

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Also erst hatte ich gedacht die Gleichheit könnte nicht gelten wegen $\begin{eqnarray*} z \neq u \end{eqnarray*}$ , aber zum Beispiel mit $\begin{eqnarray*} z = 1, u = i \end{eqnarray*}$ gilt die Gleichheit ja doch...

25.11.2008, 18:37

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} \|1+\operatorname i\|=\sqrt{2}<2=\|1\|+\|\operatorname i\| \end{eqnarray*}$ !

25.11.2008, 18:56

Dunkit

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Verdammt das stimmt wohl... Dann gilt die Gleichheit wohl doch nur für u=z, was aber ja ausgeshclossen wurde?

25.11.2008, 18:58

Mathespezialschüler

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Ja, das soll ausgeschlossen sein. Das gilt es natürlich noch zu beweisen. Wann gilt denn $\begin{eqnarray*} \|z+w\|=\|z\|+\|w\| \end{eqnarray*}$ ? Und wann ist letzteres $\begin{eqnarray*} =2 \end{eqnarray*}$ ?

25.11.2008, 19:11

Dunkit

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Also $\begin{eqnarray*} \|z\| + \|w\| = 2 \end{eqnarray*}$ ist hier nur wenn $\begin{eqnarray*} \|z\| = \|w\| = 1 \end{eqnarray*}$ .
Hm ja und die Gleichheit gilt halt für z = w, und ansonsten nicht, oder? Bin mir aber nicht ganz sicher wie ich das zeigen soll.

25.11.2008, 19:20

Mathespezialschüler

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Die erste Gleichheit gilt für $\begin{eqnarray*} z=aw \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\geq 0 \end{eqnarray*}$ reell. Das sollte aber bekannt sein. Und dann folgt der Rest direkt.

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