Konvergenzradien |
| 24.11.2008, 21:49 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Konvergenzradien Ich habe einige Fragen zur Berechnung von Konvergenzradien. Ich fange mal ganz simpel an: Um den Konvergenzradius herauszufinden, gilt doch: Also wenn die Reihe nun so aussieht: Wie rechne ich dann den Konvergenzradius konkret aus? Eine Voraussetzung ist natürlich, dass limsup überhaupt existiert, aber das ist hier ja der Fall... Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Vielen Dank! |
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| 24.11.2008, 21:52 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hier wäre das Quotientenkriterium zur Berechnung des Konvergenzradius' geeigneter. |
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| 24.11.2008, 21:53 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man als zulässigen Wert hinzunimmt, existiert dieser limsup immer - das ist ja der Clou an dieser Cauchy-Hadamard-Formel. 
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| 24.11.2008, 22:06 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt natürlich, klar...hihi Wenn ich das Quotientenkrit. anwende, käme ja folgendes heraus: plus die Erkenntnis, dass die Reihe absolut konvergiert. Aber wie ich zum Konvergenzradius kommen soll, sehe ich immernoch nicht :-( |
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| 24.11.2008, 22:31 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stop, du verstehst da was falsch
. Wenn eine Reihe der Formgegeben ist, ist der Konvergenzradius r: . Das x gehört also nicht mit rein. |
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| 24.11.2008, 22:53 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, na das hab ich mir gedacht, weil mein Rechner immer einen "fehler" anzeigte. Und wie wäre es dann bei meinem ersten Beispiel mit nx^n ? ...und eben, wie finde ich den Konvergenzradius heraus? |
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| 24.11.2008, 23:09 | Smiley87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst dann die Formel von Duedi anwenden, also wäre angewandt auf deine Summe Nun noch im Zählen und Nenner kürzen, und dein Grenzwert (also dein Limes) ist dein Konverganzradius. Bei mehreren Grenzwerten musst du halt eben den Limes superior nehmen dann. |
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| 25.11.2008, 00:31 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank! Also, d.h., dass der Konvergenzradius hier = 1 wäre, nicht wahr? 
Bei der Aufgabe steht zudem noch, man müsse das Verhalten an den Randpunkten untersuchen. Was ist damit gemeint und wie macht man das? Eine andere Frage zu folgender Reihe: Wenn ich hier gleich wie bei der obigen und den anderen Aufgaben vorgehe, funktioniert da etwas nicht :-S ..ich vermute, dass es an diesem "x^(2n)" liegt...mein Rechner zeigt "keine reelle Lösung" an.. Herzlichen Dank für den Support! |
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| 25.11.2008, 01:59 | Soz.Päd. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guten Tag, wenn wir den Konvergenzradius berechnet haben, wissen wir, dass die Reihe innerhalb dieses Konvergenzradiuses konvergiert und außerhalb divigiert; wir wissen aber nicht, wie sich die Reihe verhält, wenn x einen Wert des Konvergenzradiuses annimmt; die Reihe könnte dann konvergieren oder divigieren. Daher muss die Reihe für die Werte des Konvergenzradius ("Randpunkte") noch separat untersucht werden. Zur anderen Aufgaben Wir müssen wieder darauf achten, dass wir für die Anwendung der Formel eine Reihe mit Gliedern g(n) der Gestalt: " g(n) = a(n) * x^n" haben. Für die gegebene Reihe mit Gliedern g(n) der Form g(n) = (1/((3 + (-1)^n)^3n)) * x^2n" formen wie daher um, indem wir: 2*n = m setzen und eine Reihe aus Gliedern g'(m) bilden, die mit der Reihe aus den Gliedern g(n) übereinstimmt, indem: g'(m) = (1/((3 + (-1)^(m/2))^(3*m/2)) * x^m für m = 2*n; g'(m) = 0 für alle übrigen m. Nun kann man mit der Formel arbeiten. Gruß Soz.Päd. |
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| 25.11.2008, 19:59 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Herzlichen Dank für die Hilfe! Noch eine Frage zur behandelten Reihe: Ist hier der Konvergenzradius = 0 ? |
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| 25.11.2008, 20:52 | Soz.Päd. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guten Tag, begründe bitte, wie du auf Konvergenzradius = 0 kommst. Gruß Soz.Päd. |
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| 25.11.2008, 21:08 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich muss ehrlich sagen, dass mir dein Trick nicht so viel gebracht hat, weil wenn ich z.B. (1/((3 + (-1)^(m/2))^(3*m/2))) in meinen Rechner eingebe, kommnt trotzdem noch dieselbe Meldung, dass der Term nicht reell sei... |
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| 25.11.2008, 21:14 | Soz.Päd. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guten Tag, versuche es doch mal ohne Rechner: Bestimme für n gegen unendlich: lim sup (n-te Wurzel aus a(n)). Gruß Soz.Päd. |
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| 25.11.2008, 21:35 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
all right: Konvergenzradius = 1 |
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| 25.11.2008, 21:43 | Soz.Päd. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guten Tag, schreibe doch bitte mal dein Rechenweg auf. Gruß Soz.Päd. |
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| 25.11.2008, 21:53 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hehe...jetzt bekomme ich das Ergebnis, dass es gar kein Konvergenzradius gibt =S naja also, ich rechne: r = limsup|a_n / a_{n+1}| = limsup|((1 / ((3+(-1)^n)^3n)) / ((1 / ((3+(-1)^(n+1))^(3(n+1))) | = (bei mir jetzt gar nicht mehr) Vielen Dank für die Hilfe! |
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| 25.11.2008, 21:59 | Fabian06 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Frage beantwortet! Habe den Fehler entdeckt. Konvergenzradius = 8. 100%
Vielen Dank! |
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