komplementärer Unterraum

24.11.2008, 23:06	blubber	Auf diesen Beitrag antworten »
komplementärer Unterraum Hallo. Ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen und stocke an einer Stelle. Undzwar habe ich einen Banachraum X, der per Definition der R^m ist: $\begin{eqnarray} X:=\mathbb R^m \end{eqnarray}$ . Und dann habe ich noch eine lineare Projektion $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ , die von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} X_1:=\ker f'(a) \end{eqnarray}$ abbildet. Dabei ist $\begin{eqnarray} f:\mathbb R^m \rightarrow \mathbb R^n \end{eqnarray}$ eine differenzierbare Abbildung und f'(a) eine surjektive Abbildung. Der Knackpunkt ist jetzt, dass nach einem komplementären Unterraum $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ gesucht wird, sodass $\begin{eqnarray} X=X_1\oplus X_2 \end{eqnarray}$ . Im Beweis wird dieser wie folgt gewählt: $\begin{eqnarray} X_2=\operatorname{Im}(I-P) \end{eqnarray}$ . Wieso ist das so? Ich kann mit diesem Ausdruck irgendwie nix anfangen. Was könnte man sich denn anschaulich darunter vorstellen? Vielen Dank schonmal
25.11.2008, 18:12	blubber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, habe es jetzt glaub ich verstanden anhand eines einfacheren Beispiels. Sei z.B. $\begin{eqnarray} X=\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und P die Projektion auf die x-Achse. Dann ist $\begin{eqnarray} P=\begin{pmatrix} 1& 0 & 0\\ 0&0&0 \\ 0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Somit ist I-P die Projektion in die yz-Ebene, also Im(I-P) gerade die yz-Ebene. Und x-achse + yz-Ebene ergibt den R^3, Schnitt ergibt nur {0}. Falls doch noch irgendwas falsch ist, ich wär für Anmerkungen dankbar.
26.11.2008, 12:50	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist doch ein anschauliches Beispiel. War es das was Du wolltest oder gibt es noch Probleme mit $\begin{eqnarray} X=X_1 \oplus X_2 \end{eqnarray}$ ?
26.11.2008, 13:25	blubber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja mit dem einfacheren Beispiel ist es sehr anschaulich. Ich kam nur nich mit den Unterräumen in meinem Beweis klar, weil ich mir unter $\begin{eqnarray} \ker f'(a) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \operatorname{Im}(I-P) \end{eqnarray}$ nicht so wirklich viel vorstellen konnte. Aber mit dem einfachen 3D-Fall mit Projektion auf eine Achse oder Ebene ist es klar.

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