Gaußsche Zahlen

25.11.2008, 05:43

Bjoern1982

Gaußsche Zahlen

Hallo,

ich habe hier zwei eigentlich einfach aussehende Aufgaben, aber ich habe Probleme zur Lösung zu kommen.

a) Bestimmen Sie alle x,y aus Z+Zi mit x²+y²=0

Mit x=a+bi und y=c+di kommt man ja auf sowas wie

(a²-b²+c²-d²)+(2ab+2cd)i=0

<=> a²-b²+c²-d²=0 und ab+cd=0

Wie kann man jetzt noch weiter umformen ?

b) Zeige, dass es für a,b aus Z genau dann eine Darstellung a+bi=u²+v² mit u,v aus Z+Zi gibt, wenn b gerade ist und sogar durch 4 teilbar wenn a kongruent 2 mod 4

Hier habe ich gar keinen Ansatz...

Hat jemand eine Idee ?

Gruß Björn

25.11.2008, 07:05

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Bei a) würde ich eher so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2+y^2 = x^2-i^2y^2 = (x+iy)(x-iy) \end{eqnarray*}$ ,

aus der man die Lösungen $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ direkt ablesen kann.

Bei b) kann man doch deine Überlegungen aus a) übernehmen, natürlich mit einer Variablenumbenennung, da du leider wenig vorausblickend a und b doppelt vergeben hast:

Mit x=e+if und y=c+id ergibt sich

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = e^2-f^2+c^2-d^2 + i(2ef+2cd) = a+ib \end{eqnarray*}$ ,

also

$\begin{eqnarray*} e^2-f^2+c^2-d^2 &=& a \\ 2(ef+cd) &=& b \end{eqnarray*}$ .

Dasss $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ durch 2 teilbar ist, sollte klar sein. Für den anderen Teil der Frage musst du dran denken, dass es modulo 4 nur die beiden quadratischen Reste 0 und 1 gibt.

25.11.2008, 10:57

Bjoern1982

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a)

Gut, dann komm ich auf

(0,0) --> e=f=c=d=0

(1,i) --> e=1;f=0;c=0;d=1

(i,-1) --> e=0;f=1;c=-1;d=0

(-1,-i) --> e=-1;f=0;c=0;d=-1

(-i,1) --> e=0;f=-1;c=1;d=0

(1,-i) --> e=1;f=0;c=0;d=-1

(i,1) --> e=0;f=1;c=1;d=0

(-1,i) --> e=-1;f=0;c=0;d=1

(-i,-1) --> e=0;f=-1;c=-1;d=0

b)

Zitat:

dass es modulo 4 nur die beiden quadratischen Reste 0 und 1 gibt.

Meinst du ich soll dann a durch 4k+2 ersetzen und dann die 1. Gleichung in die zweite einsetzen und dann alle möglichen 2^4 Fälle durchspielen für e,f,c,d aus {0,1} ?

Danke für deine Hilfe.

25.11.2008, 17:50

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Zu a) Wir sind doch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} + i\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , wieso beschränkst du dich da bei Real- und Imaginärteil auf -1, 0 und 1 ???

Die sich aus $\begin{eqnarray*} (x-iy)(x+iy)=0 \end{eqnarray*}$ ergebenden Lösungen sind doch einfach $\begin{eqnarray*} y=c+id,x=-d+ic \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=c+id,x=d-ic \end{eqnarray*}$ für beliebige (!) $\begin{eqnarray*} c,d\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Zu b) Es gibt modulo 4 insgesamt 16 Quadrupel $\begin{eqnarray*} (e^2,f^2,c^2,d^2) \in \{0,1\}^4 \end{eqnarray*}$ . Durch Überprüfung aller Tupel kann man sich leicht überlegen, dass $\begin{eqnarray*} e^2-f^2+c^2-d^2 \equiv 2\mod 4 \end{eqnarray*}$ nur möglich ist für $\begin{eqnarray*} e\equiv c\equiv 1 \mod 2,\; f\equiv d \equiv 0\mod 2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e\equiv c\equiv 0 \mod 2,\; f\equiv d \equiv 1\mod 2 \end{eqnarray*}$ . In beiden Fällen ist $\begin{eqnarray*} ef+cd \equiv 0\mod 2 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Sorry, hatte oben noch bei der Ergebnisangabe von a) einen Copy+Paste-Fehler (y statt x) - korrigiert.

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