Kugel Fächer Modell

25.11.2008, 10:13

Fitness

Kugel Fächer Modell

Hallo bräuchte mal eure Hilfe bei dieser Aufgabe schreib morgen Mathe und komm da total nciht weiter!

In einem Ort vergehen pro Jahr ca. 100 Tage, an denen kein Alarm erfolgt (Feuerwehr).
Schätze hieraus, wie oft die Feuerwehr dieses Ortes im Laufe eines Jahres alamiert wird ?

Hier ist ja nach n gefragt oder ?

Bitte um Hilfe!!

Danke

MfG

25.11.2008, 11:35

Fitness

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RE: Kugel Fächer Modell!!!
villt 365*(364/365)^n = 100 aber wieso weiß ich nciht und wie man das auflösen kann nach n wüßt ich auch nciht könnte mir das jemand erklären, wenn der ansatz überhaupt stimmt !?

MfG

26.11.2008, 08:56

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Hierbei wird angenommen, dass die Feuerwehr an jedem Tag des Jahres mit der gleichen (zunächst unbekannten) Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ alarmiert wird, und dass diese Alarmierungen unabhängig voneinander stattfinden. Es sei mal dahingestellt, ob diese Annahmen berechtigt sind, aber mangels weiterer Informationen ist davon auszugehen.

Unter diesem Voraussetzungen eines klassischen Bernoulli-Experimentes ist die Zufallsgröße

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ... maximale durchgehende Anzahl Tage von Jahresbeginn an ohne Feueralarm

geometrisch verteilt (Variante B), d.h. es ist

$\begin{eqnarray*} P(X=n)= p(1-p)^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=0,1,2, \dots \end{eqnarray*}$

mit Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X) = \frac{1}{p}-1 \end{eqnarray*}$ .

-------------------------------------

Gemäß Momentenmethode wird man die angegebenen 100 Tage als Schätzwert für $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ auffassen, womit sich eine Bestimmungsgleichung für den Momentenschätzer $\begin{eqnarray*} \hat{p}_M \end{eqnarray*}$ ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\hat{p}_M}-1 = 100 \end{eqnarray*}$ ,

was dann zu $\begin{eqnarray*} \hat{p}_M = \frac{1}{101} \end{eqnarray*}$ führt.

-------------------------------------

Eine andere Möglichkeit wäre Maximum-Likelihood - hier bestimmt man dasjenige $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , welches die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} g(p) = P(X=100) = p(1-p)^{100} \end{eqnarray*}$

maximiert. Aus $\begin{eqnarray*} g'(p) = (1-p)^{100} - 100p(1-p)^{99} = (1-101p)(1-p)^{99} \end{eqnarray*}$ ist ersichtlich, dass das auf den Schätzer

$\begin{eqnarray*} \hat{p}_{ML} = \frac{1}{101} \end{eqnarray*}$

führt.

-------------------------------------------

Beide Schätzer sind also gleich, was i.a. nicht notwendig so sein muss.

Was hat nun $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit der Anzahl $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ der Feuerwehreinsätze pro Jahr zu tun? Nun, diese ist unter den Bedingungen des Bernoulli-Experimentes wiederum binomialverteilt $\begin{eqnarray*} Y\sim B(365,p) \end{eqnarray*}$ , woraus $\begin{eqnarray*} E(Y)=365p \end{eqnarray*}$ folgt, der Schätzwert davon ist demnach die mittlere zu erwartende Anzahl Feuerwehreinsätze pro Jahr:

$\begin{eqnarray*} \widehat{E(Y)} = 365 \hat{p} = \frac{365}{101} \approx 3.6 \end{eqnarray*}$

15.10.2009, 00:42

Abakus

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RE: Kugel Fächer Modell!!!

Zitat:

Original von Fitness
In einem Ort vergehen pro Jahr ca. 100 Tage, an denen kein Alarm erfolgt (Feuerwehr).
Schätze hieraus, wie oft die Feuerwehr dieses Ortes im Laufe eines Jahres alamiert wird ?

Wie sähe es aus, wenn die Voraussetzungen wie folgt interpretiert werden:

- die 100 Tage sich beliebig zufällig auf das Jahr verteilen (nicht notwendig nacheinander),
- es mehr als einen Alarm pro Tag geben kann,
- die Anzahl der Alarme pro Tag binomialverteilt ist ?

Wenn X die Anzahl der Alarme an einem bestimmten Tag bezeichnet, hätte man (stochastische Unabhängigkeit zwischen den einzelnen Tagen vorausgesetzt):

$\begin{eqnarray*} P(X=0) = (1 - p)^n \stackrel{!}{=} \frac{100}{365} \end{eqnarray*}$

Damit komme ich allerdings nicht weiter dann?

Grüße Abakus smile

15.10.2009, 11:00

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Zitat:

Original von Abakus
- die 100 Tage sich beliebig zufällig auf das Jahr verteilen (nicht notwendig nacheinander),

Wenn die Auswahl der 100 Tage unabhängig von den Alarmen erfolgt - also etwa vorab, wobei etwaige Brandstifter keine Kenntnis von dem Plan haben ( Augenzwinkern

) - dann gibt es keinen Unterschied zur obigen Betrachtung.

Zitat:

Original von Abakus
- es mehr als einen Alarm pro Tag geben kann,

Dann geht die obige Betrachtung nur dann, wenn die Alarmzeitpunkte auch noch unabhängig von der Tageszeit sind - eine sehr zweifelhafte Annahme. Außerdem muss dann natürlich die Zeitauflösung der Alarmmeldung verfeinert werden, nicht nur auf "ganze Tage" gerundet.

Zitat:

Original von Abakus
- die Anzahl der Alarme pro Tag binomialverteilt ist ?

Welchem Modell soll denn eine binomialverteilte Alarmanzahl entspringen? verwirrt

Sagen wir z.B. $\begin{eqnarray*} B(3,p) \end{eqnarray*}$ : Wenn dann die Feuerwehr bis Mittag bereits dreimal ausgerückt ist, kann sie dann beruhigt Feierabend machen - denn mehr als dreimal kann es ja laut Modell pro Tag nicht brennen. Big Laugh

Poissonverteilung ist wesentlich plausibler.

15.10.2009, 17:59

Abakus

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Welchem Modell soll denn eine binomialverteilte Alarmanzahl entspringen? verwirrt

Dem Kugel-Fächer-Modell. Im Jahr gibt es eine bestimmte Anzahl von Alarmen (n-viele), diese entsprechen den Kugeln. Diese n Kugeln sind nun auf die Fächer zu verteilen (n-stufiger Bernoulli-Versuch), das sind hier die 365 Tage des Jahres. Dabei wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit in einen bestimmten Fächer zu fallen, für alle Fächer gleich ist (also hier gleich p=1/365 sein muss, was dann mein oben gesuchtes p ist).

Damit haben wir für die Anzahl der Feueralarme pro Tag:

$\begin{eqnarray*} P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot \left (\frac{1}{365}\right )^k \cdot \left (\frac{364}{365}\right )^{n-k} \end{eqnarray*}$

Da die Wahrscheinlichkeiten für die Feueralarme für die einzelnen Tage stochastisch unabhängig sein sollen, erhalten wir bei Betrachtung von 365 Tagen jeweils $\begin{eqnarray*} 365 \cdot P(X=k) \end{eqnarray*}$ - viele Tage mit k Feueralarmen.

Speziell für k=0 ergibt sich die Bedingung: $\begin{eqnarray*} 365 \cdot \left(\frac{364}{365}\right)^n \stackrel{!}{=} 100 \end{eqnarray*}$ , demnach also:

$\begin{eqnarray*} n = \frac{\log(\frac{100}{365})}{\log(\frac{364}{365})} \approx 471,92 ~\text{ viele Alarme} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

edit, PS: natürlich geht es auch mit der Poisson-Verteilung als Näherung und führt zum selben Ergebnis (nach einer Diskussion weiß ich: aus Schülersicht gibt es hier das Problem, dass diese Verteilung erst 2 Kapitel nach dieser Aufgabe eingeführt wird Augenzwinkern

)

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