Komplizierte Reihen

25.11.2008, 14:24

prinzschleifer

Komplizierte Reihen

Hallo Community,

so, hab hier eine Folge und kann keines der Kriterien anwenden, die wir besprochen haben. Also ich kann sie anwedenen, liefern aber keine Aussage. Hier die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum^n_{n=1} \frac{\sqrt{n+1}-{\sqrt{n}}}{n^{3/4}} \end{eqnarray*}$

So, also, das Quotienkriterium ergab bei mir 1, das Wurzelkriterium auch, eine entsprechene Majorante habe ich auch nicht gefunden.

Irgendwelche Ansätze? Ich wäre euch sehr dankbar!

25.11.2008, 14:38

klarsoweit

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RE: Komplizierte Reihen
Wie immer in solchen Fällen: erweitere mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ smile

Und überprüfe deine obere Grenze.

25.11.2008, 15:29

prinzschleifer

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Also wenn ich

$\begin{eqnarray*} \sum^n_{n=1} \frac{\sqrt{n+1}-{\sqrt{n}}}{n^{3/4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum^n_{n=1} \frac{\sqrt{n+1}-{\sqrt{n}}}{n^{3/4}} \cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

komm ich lediglich auf
$\begin{eqnarray*} \sum^n_{n=1} \frac{1}{n^{3/4} \cdot ( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} )} \end{eqnarray*}$

Den Tipp mit der oberen Grenze hab ich nicht ganz verstanden.

25.11.2008, 15:39

klarsoweit

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Und nun ist: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{3/4} \cdot ( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} )} \leq \frac{1}{n^{3/4} \cdot 2\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Wie sieht es nun mit der Konvergenz der rechten Reihe aus?

Deine Summen haben als obere Grenze ein "n". Das ist etwas unpassend.

25.11.2008, 16:05

prinzschleifer

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$\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n^{3/4} \cdot 2\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{2n^\frac{3}{8}} \end{eqnarray*}$

Und das ist ja grade ein Derivat der harmonischen Summe.

$\begin{eqnarray*} S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha} \end{eqnarray*}$

Und diese divergiert gerade für $\begin{eqnarray*} 0 < \alpha < 1 \end{eqnarray*}$
Ich denk mal das der Faktor 2 davorne dran nichts macht, aber wie man das nachweist weis ich jetzt auch nicht.

Und wenn grade diese harmonische Reihe größer ist als meine Folge, dann muss auch meine Folge divergieren. Sie enthält ja nur positive Werte.

Soweit aber korrekt meine Argumentation?

25.11.2008, 16:33

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \text{?} \end{eqnarray*}$ (P L U S )

25.11.2008, 16:44

prinzschleifer

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$\begin{eqnarray*} = \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$ also konvergiert sie smile

Vielen Dank, Potenzgesetze werden mich für immer heim suchen.

Hab jetzt hier noch eine Aufgabe, die mir Kopfschmerzen bereitet:

$\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=1} = (-1)^n \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1} \end{eqnarray*}$

Das Leibnizkriterium kann man hier nicht anwenden, da $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist. Sie konvergiert gegen 1. Das Wurzel und Quotientenkriterium führt zu 1, also keine Aussage möglich. Eine entsprechene Minorante bzw. Majorante finde ich auch nicht, also frag ich nun die Experten (so steht es auch übrigens in meinem Buch smile

)

Wäre nett, wenn ich wieder einen kleinen Denkanstoß bekommen würde smile

25.11.2008, 17:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von prinzschleifer
da $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist. Sie konvergiert gegen 1.

Damit ist das wesentliche gesagt. Keine Nullfolge --> keine Konvergenz. smile

25.11.2008, 18:46

prinzschleifer

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Gut, dann hab ich gleichmal einen Einwand. Die harmonische Reihe bzw. derene Derivate ist ja auch eine Nullfoleg und konvergiert! Das heißt, dass das eine Ausnahme ist oder? D.h. jede Reihe, die als Folge kein Derivat der harmonischen Reihe ist und keine Nullfolge ist konvergiert nicht. Richtig?

So, nun etwas anderes, wo ich mir auch grade meine Zähne ausbeisse:

$\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{n=1} = (-1)^n \cdot \frac{\sqrt{n}}{n+1} \end{eqnarray*}$

Die Folge $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{n+1} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge. Also ist das Leibnitzkriterium erfüllt, sie konvergiert also. Ich muss aber eine Aussage darüber machen, ob diese absolut Konvergent ist. Die anderen Kriterien bringen mich wieder zu keiner Aussage oder hab ich falsch umgeformt?

25.11.2008, 19:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von prinzschleifer
Die harmonische Reihe bzw. derene Derivate ist ja auch eine Nullfoleg und konvergiert!

Die harmonische Reihe konvergiert nicht. Nur ihr Summenterm 1/n konvergiert, und zwar gegen Null. Die Konvergenz des Summenterms einer Reihe gegen Null ist notwendige Voraussetzung für die Konvergenz der Reihe, reicht aber nicht.

Zitat:

Original von prinzschleifer
Die Folge $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{n+1} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge. Also ist das Leibnitzkriterium erfüllt, sie konvergiert also.

Einen Teil hast du vergessen. Die Folge muß monoton fallen. smile

Zitat:

Original von prinzschleifer
Ich muss aber eine Aussage darüber machen, ob diese absolut Konvergent ist.

Wie sieht denn der Betrag des Summenterms aus? Welches Konvergenzverhalten vermutest du für die Reihe?

25.11.2008, 20:02

prinzschleifer

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Wir haben einiges zu klären Augenzwinkern

also, die harmonische Reihe ist ja das hier:

$\begin{eqnarray*} S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \alpha > 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe (laut Wikipedia), oder verwechsel ich da grade was, manchmal seh ich offentliche Sachen einfach nicht.

Zu: $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{n+1} \end{eqnarray*}$

Diese ist monoton fallend, da

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{n+1} \geq \frac{\sqrt{n+1}}{n+2} \end{eqnarray*}$

So nun zum eigentlichen Teil der Aufgabe:

Also wenn ich den Betrag betrachtet fällt grundegenommen gerade dieses -1, aber das ist ja die Folge und nicht die Reihe ... mhhh unglücklich

26.11.2008, 08:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von prinzschleifer
$\begin{eqnarray*} S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \alpha > 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe (laut Wikipedia), oder verwechsel ich da grade was, manchmal seh ich offentliche Sachen einfach nicht.

Ja, das stimmt.

Zitat:

Original von prinzschleifer
Diese ist monoton fallend, da

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{n+1} \geq \frac{\sqrt{n+1}}{n+2} \end{eqnarray*}$

Die Gültigkeit dieser Ungleichung ist für mich auf den ersten Blick nicht erkennbar, aber du hast sicher einen sauberen Beweis dafür. Augenzwinkern

Zitat:

Original von prinzschleifer
Also wenn ich den Betrag betrachtet fällt grundegenommen gerade dieses -1, aber das ist ja die Folge und nicht die Reihe ... mhhh unglücklich

Was heißt "aber das ist ja die Folge und nicht die Reihe"? Ja, man nimmt den Betrag der Folgenglieder und diese werden dann summiert. Anders ausgedrückt: vom Betrag der Folgenglieder wird die Reihe gebildet.

27.11.2008, 14:49

pygospa

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Zitat:

Original von prinzschleifer
Wir haben einiges zu klären Augenzwinkern

also, die harmonische Reihe ist ja das hier:

$\begin{eqnarray*} S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha} \end{eqnarray*}$

Interessanter Weise wurde die harmonische Reihe bei uns mit
$\begin{eqnarray*} S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
bezeichnet, und zwar ausschließlich so, ohne weiteren Exponenten. Diese ist natürlich divergent.

$\begin{eqnarray*} S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^p} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} p > 1 \end{eqnarray*}$ hieß bei uns p-Reihe. Ob da jetzt $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ oder p steht, ist denke ich mal egal. Jedenfalls ist die p-Reihe immer konvergent.

Ich weiß nicht, ob das jetzt eine spezielle Konvention unseres Mathe-Dozenten war (nach Wikipedia fürchte ich fast, dass es so ist) - allerdings finde ich sie auch nicht so schlecht - das würde oben beschriebene Missverständnisse vorbeugen.

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