Produktfunktion

25.11.2008, 16:41	CFusz	Auf diesen Beitrag antworten »
Produktfunktion Hallo, ich habe folgende Aufgabe, bei der ich im Moment nicht weiter komme. Berechnen sie die ersten Glieder der Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in \mathbb N \backslash \{1\}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (a_n)=\prod_{k=2}^n ({1-\frac{1}{k^2}}) \end{eqnarray}$ und versuchen Sie, für das n-te Glied eine Formel in Form eines Bruches zu gewinnen. Beweisen Sie die vermutete Formel durch Induktion. So weit so gut. Also hab ich mal angefangen die ersten 5 Glieder auszurechnen, die da wären: $\begin{eqnarray} a_2=\frac{3}{4} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_3=\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_4=\frac{5}{8} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_5=\frac{3}{5} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_6=\frac{7}{12} \end{eqnarray}$ Ich sehe aber jetzt nicht wirklich, wie ich daraus eine Formel für das n-te Glied herleiten kann. Hab es schon mit folgenden Ansätzen versucht $\begin{eqnarray} \frac{2^2-1}{2^2} \cdot \frac{3^2-1}{3^2} \cdot \frac{4^2-1}{4^2} \cdot ... \end{eqnarray}$ bzw: $\begin{eqnarray} \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{15}{16} \cdot ... \end{eqnarray}$ Ich weiß aber jetzt nicht wie ich weiter vorgehen kann/soll. Gruß Christian
25.11.2008, 16:46	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Dir könnte auffallen, dass du leicht kürzen kannst. $\begin{eqnarray} \frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}\cdot .... \end{eqnarray}$ Immer in den zwei aufeinanderfolgenden Termen. Das solltest du ausnutzen.
25.11.2008, 17:03	CFusz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, und wie soll ich bei n Elementen kürzen, bzw. welche allgemeine Erkenntnis kann ich aus dieser Tatsache ziehen? Weil, wenn ich jeweils bis zu einem bestimmten Folgeglied n die Brüche aufschreibe und dann kürze komme ich ja gerade wieder zu $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ und da sehe ich kein weiterkommen.
25.11.2008, 17:13	Zizou66	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ne echt tolle Aufgabe! Also: Weil du n Elemente hast, sollst du auch eine Formel finden, mit der du den Wert der Folge für ein vorgegebenes n berechnen kannst. Das mit dem kürzen der ersten paar Terme sollte dich nur auf eine Idee bringen. In deiner Aufgabenstellung ist ja schon angegeben, dass du die vermutete Formel durch VI beweisen sollst. Hast du also ein Muster erkannt, versuchst du es zu erst für ein paar willkürlich gewählte n aus, wenn es stimmt, lässt du die Induktion drauf los
25.11.2008, 17:30	CFusz	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs gefunden müsste $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{2n} \end{eqnarray}$ sein oder?
25.11.2008, 17:33	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist übrigens ein Teleskopprodukt. $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{k^2} = \frac{k-1}{k} \cdot \frac{k+1}{k} \end{eqnarray}$
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