Grenzwert Beweisen

25.11.2008, 17:12

knq

Grenzwert Beweisen

Hallo ich bräuchte ma ein bisschenl Hilfe beim Beweis eines Grenzwertes:

Gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n^k*q^n =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall k\in \mathbb N \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall q\in \mathbb R, \mid q \mid <1 \end{eqnarray*}$

Da der Betrag von q kleiner 1 ist, muss ja gelten

$\begin{eqnarray*} \mid q^n \mid <1 \end{eqnarray*}$

Da n dort auch im Exponent steht, wächst dies, Vorzeichen von q egal, da Betrag kleiner 1 egal, schneller gegen 0 als der andere Ausdruck mit k größer wird.

Doch wie beweise ich das, eine kleine Anfangsanregung wäre sehr nett Freude

25.11.2008, 17:20

tmo

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Wenn du z.b. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$ verwenden darfst (Beweise dafür gibt es zahlreich in diesem Forum):

Mit vollständiger Induktion folgt $\begin{eqnarray*} 1=\lim_{n \to \infty} (\sqrt[n]{n})^{k+1} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{k+1}} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{|q|} > 1 \end{eqnarray*}$ , also gibt es ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^{k+1}} < \frac{1}{|q|} \end{eqnarray*}$ .

Wie kannst du nun weitermachen?

25.11.2008, 17:36

knq

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}=1 \end{eqnarray*}$

Dürfen wir sicherlich verwenden, da wir den Beweis schonmal gemacht haben

Wenn ich das gerade richtig seh

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^{k+1}} < \frac{1}{|q|} \end{eqnarray*}$

Wenn man das hoch n nimmt:

$\begin{eqnarray*} n^{k+1}<\frac{1}{q^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^{k+1}*q^{n}<1 \end{eqnarray*}$

verwirrt

25.11.2008, 17:40

tmo

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Zitat:

Original von knq
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}=1 \end{eqnarray*}$

Dürfen wir sicherlich verwenden, da wir den Beweis schonmal gemacht haben

Das ist Unfug. Der Grenzwert ist 1. Nicht der Ausdruck selbst.

Zitat:

Original von knq
Wenn ich das gerade richtig seh

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^{k+1}} < \frac{1}{|q|} \end{eqnarray*}$

Wenn man das hoch n nimmt:

$\begin{eqnarray*} n^{k+1}<\frac{1}{q^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^{k+1}*q^{n}<1 \end{eqnarray*}$

verwirrt

Durch n teilen. verwirrt

Ach und lass den Betrag um das q, bzw. mache ihn sogar um den ganzen Term.

25.11.2008, 17:53

knq

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$\begin{eqnarray*} n^{k+1}*\mid q^{n}\mid<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^{k}*\mid \frac{q^{n}}{n}\mid<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Ok, soweit so gut, aber ich hab ja noch eine Unglichung, wie bekommt man das denn jetzt in eine Gleichung?

25.11.2008, 17:54

tmo

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Hui wo kommt denn links das "durch n" her?

Wenn du $\begin{eqnarray*} a \cdot b \end{eqnarray*}$ durch a teilst, kommt bei dir also $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ raus?

Übrigens beweist man Grenzwerte oft durch Abschätzungen...Genau das wollte ich hier andeuten.

25.11.2008, 17:55

knq

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Upps, meine natürlich $\begin{eqnarray*} n^{k}*\mid q^{n}\mid<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ Big Laugh

25.11.2008, 18:06

knq

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Wie soll ich mir nun die Abschätzung vorstellen, für sehr große n geht doch der rechte Teil gegen 0, aber der linke Teil ist doch immer positiv verwirrt

25.11.2008, 18:07

tmo

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In Worten: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ geht gegen 0 und $\begin{eqnarray*} |n^kq^n| \end{eqnarray*}$ ist sogar noch kleiner. Also geht das wohl auch gegen 0. Der Beweis funktioniert ganz einfach mit direkt mit der Definition des Grenzwertes.

25.11.2008, 18:24

knq

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