Unterschied Asymptote und asymptotische Gleichheit

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Jacques Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschied Asymptote und asymptotische Gleichheit
Hallo,

Die Definitionen klingen sehr ähnlich, sind aber nicht gleichwertig. Meine Frage wäre, wo genau die Unterschiede liegen:


Asymptote:

Der Graph einer (linearen) Funktion g heißt genau dann Asymptote einer Funktion f für , wenn




Asymptotische Gleichheit:

Zwei Funktionen f und g heißen genau dann asymptotisch gleich, wenn




Mir geht es rein um die Grenzwerte: Ich weiß, dass nicht gilt:



Aber wo genau liegt z. B. geometrisch der Unterschied? Der erste Fall bedeutet, dass die Funktionswerte einander beliebig nahe kommen. Und beim zweiten? Ist das eine noch stärkere Annäherung? Denn z. B. die Funktionen f(x) = 1/x und g(x) = 2/x sind im Sinne der ersten Definition durchaus „asymptotisch“, im Sinne der zweiten aber nicht. Andererseits gibt es laut dem Forster auch Fälle, bei denen die Quotientenfunktion zwar gegen 1 konvergiert, die Differenzenfunktion aber divergiert. Das spricht wiederum gegen diese Auffassung...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Der Unterschied liegt schlicht und einfach in der Definition und die beiden Eigenschaften sind erst einmal völlig unabhängig voneinander.

Aber bei gewissen Forderungen werden sie abhängig voneinander.


Wenn f gegen einen von 0 verschiedenen Grenzwert konvergiert, sind die beiden Eigenschaften äquivalent.

Wenn f gegen 0 konvergiert, folgt aus asymptotischer Gleichheit, dass g Asymptote von f ist.

Wenn f bestimmt gegen unendlich divergiert, folgt daraus, dass g Asymptote von f ist, dass die beiden Funktionen auch asymptotisch gleich sind.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Erklärung, damit ist die Hauptfrage geklärt. Freude

Wie meinst Du aber folgenden Satz?:

Zitat:
Wenn f bestimmt gegen unendlich divergiert, folgt daraus, dass g Asymptote von f ist, dass die beiden Funktionen auch asymptotisch gleich sind.


Wenn f bestimmt gegen unendlich divergiert, so folgt daraus: Wenn g Asymptote ist, dann sind die beiden Funktionen asymptotisch gleich?

Oder umgekehrt?


Ansonsten: Kann man die asymptotische Gleichheit irgendwie geometrisch veranschaulichen? Mir fehlt noch die Vorstellung davon, was es bedeutet, wenn die Verhältnisse der Funktionswerte gegen 1 streben. Bei der Asymptote wird ja einfach der Abstand beliebig klein.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
Wenn f bestimmt gegen unendlich divergiert, so folgt daraus: Wenn g Asymptote ist, dann sind die beiden Funktionen asymptotisch gleich?

Genau das meinte ich. Habe es blöd formuliert.

Zitat:
Original von Jacques
Ansonsten: Kann man die asymptotische Gleichheit irgendwie geometrisch veranschaulichen? Mir fehlt noch die Vorstellung davon, was es bedeutet, wenn die Verhältnisse der Funktionswerte gegen 1 streben. Bei der Asymptote wird ja einfach der Abstand beliebig klein.


Also mir fällt jetzt nichts ein, wie man das geometrisch veranschaulichen könnte.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

.. rot

.. grün



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Rot: Differenz; Grün: Quotient



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