Runge-Kutta-Verfahren

25.11.2008, 18:18	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Runge-Kutta-Verfahren Hallo zusammen, ich versuche gerade eine Aufgabe zum Runge-Kutta Verfahren zu lösen, aber irgendwie reicht mir die Beschreibung in unserem Skript nicht wirklich, Wikipedia war auch wenig hilfreich. Also das Verfahren ist ja im Wesentlichen gegeben durch $\begin{eqnarray} \Phi_f(x,y,h) = \sum _{i=0} \gamma_i k_i(x,y,h) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k_n(x,y,h) = f(x+\alpha_n h, y+ h \sum_{j=0}^{n-1} \beta_{nj} k_j(x,y,h)) \end{eqnarray}$ . Nun soll man also all diese Konstanten so bestimmen, dass sich ein Verfahren möglichst hoher Konsitenzordnung ergibt. Das ist ja ganz erstrebenswert aber wie zum Teufel mache ich das?! Ziel ist es, ein Verfahren der Ordnung drei mit drei Funktionsauswertungen zu entwickeln. Irgendwer hier kann mir das doch sicher kurz erklären, oder?
25.11.2008, 19:44	Funky	Auf diesen Beitrag antworten »
Hej. Also wenn du einfach nur ein RKV mit 3 Funktionsauswertungen der Ordnung 3 angeben sollst, dann such dir einfach eins mit Ordnung 3 von hier aus. Die entsprechenden Koeffizienten ergeben sich aus den Butcher-Tabellen. Wenn du das selbst herleiten sollst, dann funktioniert das z.B. über Taylor-Entwicklung des Abbruchfehlers $\begin{eqnarray} \frac{y(x+h)-y(x)}{h}-\Phi(x,y,h) \end{eqnarray}$ und anschließendem Koeffizientenvergleich. Das find ich persönlich aber ziemlich eklig und aufwändig ^^
25.11.2008, 21:09	Dunkit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich soll das herleiten... Wie mache ich denn die Taylorentwicklung, wenn ich das $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ garnicht kenne?!
25.11.2008, 21:52	Funky	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du kennst es ansich schon. Wenn es 3 Funktionsauswertungen haben soll, dann handelt es sich also um ein 3-stufiges RKV. Demnach ergibt sich $\begin{eqnarray} \begin{array}{r l}\Phi(x,y,h)=&\gamma_1\cdot f(x,y)+\gamma_2\cdot f(x+\alpha_1\cdot h, y+h\cdot\beta_{21}\cdot f(x,y)) \\ &+\gamma_3\cdot f(x+\alpha_2\cdot h, y+ h\cdot(\beta_{31}\cdot f(x,y)+\beta_{32}\cdot f(x+\alpha_1\cdot h, y+h\cdot\beta_{21}\cdot f(x,y)))\end{array} \end{eqnarray}$ (Habe mit den Indizes mal bei 1 angefangen, dass ist irgendwie schöner und auch zweckmäßiger in Hinsicht auf das Butcher-Diagramm.) Die Funktionsausdrücke nach $\begin{eqnarray} \gamma_2, ~\gamma_3 \end{eqnarray}$ können nun entwickelt werden, aber wie jetzt genau.. is mir dann zur Zeit auch ein wenig zu hoch ^^

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