Lineare Abbildungen

25.11.2008, 18:20

energyfull

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Lineare Abbildungen

hi leute sitze an einer aufgabe bei der ich nicht weiterkomme:

die formale ableitung eines Polynoms P(X) = $\begin{eqnarray*} \sum_{n\geq 0}\lambda_n X^{n}~ \end{eqnarray*}$ ist definiert als P´(X)= $\begin{eqnarray*} \sum_{n\geq 1}n \lambda_n X^{n-1}~ \end{eqnarray*}$ . sei nun $\begin{eqnarray*} V_n \subset K[X] \end{eqnarray*}$ der Untervektorraum aller Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ über einem Körper K. Abbildung:

f: $\begin{eqnarray*} V_3 -> V_4 \end{eqnarray*}$ , P(X) -> -P´(X²-1)

also ich soll verifizieren, dass diese abbildung linear ist und basen von $\begin{eqnarray*} V_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_4 \end{eqnarray*}$ wählen und bezüglich dieser basen die matrix f bestimmen.

bis jetzt weiss ich für linear, dass ich beweisen muss das diese aussagen gelten nur ich weiss nicht wie ich das machen soll und auf diese aufgabe anwenden soll:

1)f(x+y)= f(x)+f(y)
2) f( $\begin{eqnarray*} \lambda x \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ f(x)

25.11.2008, 19:26

tigerbine

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RE: Lineare Abbildungen
Nehmen wir die Monom-Basis:

$\begin{eqnarray*} V_3=\text{span}\{1,x,x^2,x^3\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_4=\text{span}\{1,x,x^2,x^3,x^4\} \end{eqnarray*}$

Wie sehen dann die Bilder der Basispolynome unter der Abbildung f aus?

25.11.2008, 20:38

energyfull

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also meinen sie jetzt z.b. so:

f(1)=1
f(x)= x²-1
f(x²)= $\begin{eqnarray*} x^{4} - 2x² +1 \end{eqnarray*}$
f(x³) = $\begin{eqnarray*} x^{6} - 3x^{4}+3x²-1 \end{eqnarray*}$
f( $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} x^{8} -4x^{6}+6 x^{4} -4x²+1 \end{eqnarray*}$

??

25.11.2008, 21:08

tigerbine

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Die Urbilder sind richtig. Aber auch die Bilder? Du hast doch geschrieben, dass die auf eine Ableitung P' abgebildet werden. Nur eben nicht in der Art

$\begin{eqnarray*} P(x) \to P'(x) \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} P(x) \to P'(x^2-1) \end{eqnarray*}$

Es wäre also interessant herauszufinden, was sich hinter den Ausdruck $\begin{eqnarray*} P'(x^2-1) \end{eqnarray*}$ verbirgt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.11.2008, 21:12

energyfull

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wie soll ich das denn jetzt so machen,
können sie mir ein beispiel geben

25.11.2008, 21:35

tigerbine

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In dem du die Definition verwendest. Wie ist P(x) definiert, wie P'(x). Was folgt dann für P'(x^2-1)?

Dabei sollte aus der Darstellung klar sein, dass x nur für die verwendete Variable steht und nicht für das Basispolynom x welches ich in der Monom-Basis gewählt habe.

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25.11.2008, 21:45

energyfull

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ich verstehe jetzt gar nichts mehr

25.11.2008, 21:51

tigerbine

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Du musst dich eben mit der Frage auseinandersetzen, was P'(x^2-1) bedeutet im Gegensatz zu P'(x). Zum Einstieg in das Thema versuche doch einmal die Aufgabe für folgende Abbildung zu lösen

g: P(x) -> P'(x)

Wie sehen dann die Bilder der Monom-Basis aus? Vergleiche deine obige Defintion von P und P'

26.11.2008, 23:00

energyfull

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RE: Lineare Abbildungen
sitze immernoch an dieser aufgabe und habe es ncht geschafft,

das sind doch die bilder oder nicht habe das so ausgerechnet

f(x²)=(x²-1)

weiter weiss ich ncht wie das geht

26.11.2008, 23:20

tigerbine

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RE: Lineare Abbildungen
Was ist denn P'(x) in der Summenschreibweise? Nun ersetzte x durch (x²-1)

27.11.2008, 15:50

energyfull

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also wenn ich x durch x²-1:

ersetze kommt doch dann beispielweise f(x²-1)³ raus.

ich verstehe immer noch nicht warum dass dann nicht die bilder sind,

ohne einen beispiel schaffe ich das glaub ich nicht

unglücklich

unglücklich

27.11.2008, 16:10

tigerbine

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RE: Lineare Abbildungen

Zitat:

Original von energyfull
$\begin{eqnarray*} P(x)=\sum_{n\geq 0}\lambda_n x^{n}~ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P'(x)=\sum_{n\geq 1}n \lambda_n x^{n-1}~ \end{eqnarray*}$ .

Dann ergibt sich doch:

$\begin{eqnarray*} P(x^2-1) = \sum_{n\geq 0}\lambda_n (x^2-1)^{n}~ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P'(x^2-1)= \sum_{n\geq 1}n \lambda_n (x^2-1)^{n-1}~ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f:~P(x) \to P'(x^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f:~\sum_{k=0}^{3}\lambda_k x^{k} \to \sum_{k=1}^3~k \lambda_k (x^2-1)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Nun die Bilder der Monombasis:

$\begin{eqnarray*} f(1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=1\cdot 1\cdot (x^2-1)^0 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x^2)=2\cdot 1\cdot (x^2-1)^1 = 2(x^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x^3)=3\cdot 1\cdot (x^2-1)^2 = 3(x^2-1)^2 \end{eqnarray*}$

27.11.2008, 16:49

energyfull

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spielt das eine rolle das vor dem P´(x²-1) ein - steht.

ok wenn wir nun die bilder haben, wie zeigen wir dann das die abbildung linear sind

27.11.2008, 17:20

tigerbine

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Zitat:

spielt das eine rolle das vor dem P´(x²-1) ein - steht.

Wo steht da ein Minus.

Zitat:

ok wenn wir nun die bilder haben, wie zeigen wir dann das die abbildung linear sind

Vielleicht kommt da auch mal von dir eine Idee?

27.11.2008, 17:40

energyfull

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ganz oben in meinem ersten beitrag

-P´ steht da

27.11.2008, 18:00

tigerbine

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Das hab ich in dem "Gekritzel" dann wohl nicht gesehen. Dann machen wir eben vor alles noch ein Minus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f:~P(x) \to~- P'(x^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f:~\sum_{k=0}^{3}\lambda_k x^{k} \to ~- \sum_{k=1}^3~k \lambda_k (x^2-1)^{k-1} \end{eqnarray*}$

Nun die Bilder der Monombasis:

$\begin{eqnarray*} f(1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=-1\cdot 1\cdot (x^2-1)^0 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x^2)=-2\cdot 1\cdot (x^2-1)^1 =- 2(x^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x^3)=-3\cdot 1\cdot (x^2-1)^2 =- 3(x^2-1)^2 \end{eqnarray*}$

27.11.2008, 19:29

energyfull

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also wir haben jetzt die blder der monombasen unter der abbildung f.

muss ich die jtzt nicht in der basis von V darstellen,

wie kann ich das machen

27.11.2008, 19:39

tigerbine

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Mulipliziere es aus, die Basis des Bildraums hatte ich dir bereits angegeben.

27.11.2008, 20:08

energyfull

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so nachdem ausmultiplizieren steht dann da:

also

f(1)=0
f(x)=-1
f(x²)= -2x² +2
f(x³)= $\begin{eqnarray*} -3x^{4} + 6x² -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x^{4} )= -4x^{6} +12 x^{4} -12x² +4 \end{eqnarray*}$

27.11.2008, 20:14

tigerbine

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Nun kannst du ja mal die Abbildungmatrix bzgl. der Beiden Monombasen aufstellen.

Auf was wird denn der Nullvektor abgebildet?

Auf was werden Vielfache von Vektoren abgebildet?

27.11.2008, 20:28

energyfull

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kann ich das so machen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -2x² & 2 \\ 0 & -3x^{4} & 6x²& -3 \\ -4x^{6} & 12x^{4} & -12x² & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das hier mit dem multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ x \\ x² \\ x³ \\ x^{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

???

27.11.2008, 20:29

tigerbine

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Nein. In die Matrix schreiben wir doch nur die Kooffizienten, aber nicht die Basisvektoren.

27.11.2008, 20:42

energyfull

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also dann bilden wir doch die matrix so:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_6 x^{6} + a_5 x^{5} + a_4 x^{4} + a_3 x^{3} + a_2 x² + a_1 x +a_0 \end{eqnarray*}$

27.11.2008, 20:57

tigerbine

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Wo ist denn da nun die Matrix?

$\begin{eqnarray*} f(1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=-1\cdot 1\cdot (x^2-1)^0 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x^2)=-2\cdot 1\cdot (x^2-1)^1 =- 2(x^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x^3)=-3\cdot 1\cdot (x^2-1)^2 =- 3(x^2-1)^2 \end{eqnarray*}$

Nun vergeben wir "Koordinaten". Also was gibt man ein?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sieht die Matrix aus?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & ...\\ 0 &0 & ... \\ 0&0 &...\\0 &0 &... \\ 0 &0 &... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

etc

27.11.2008, 21:13

energyfull

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die matrix sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 6\\ 0 & 0 & 0 &-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.11.2008, 21:16

tigerbine

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Das sieht nun doch schon besser aus.

Nun muss noch die Linearität der abbildung gezeigt werden.

27.11.2008, 21:28

kako

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Zitat:

Original von energyfull
die matrix sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 6\\ 0 & 0 & 0 &-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ganz stimmt die Matrix aber noch nicht. Die Matrix muss 5 Zeilen haben.

27.11.2008, 21:38

energyfull

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 6\\ 0 & 0 & 0 &-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

->
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 6 & -12\\ 0 & 0 & 0 &-3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann das nicht beweisen mit der linearität:

und welche zeile fehlt denn da??

27.11.2008, 21:47

tigerbine

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Ich mach das nun mal selber...

$\begin{eqnarray*} f(1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=-1\cdot 1\cdot (x^2-1)^0 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x^2)=-2\cdot 1\cdot (x^2-1)^1 =- 2(x^2-1) = -2x^2+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x^3)=-3\cdot 1\cdot (x^2-1)^2 =- 3(x^2-1)^2 = -3x^4+6x^2-3 \end{eqnarray*}$

Wir notieren in den Spalten die Koordinaten bzgl. der Monombasis in aufsteigender Potenz.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 &-3\\ 0 &0 & 0 &0 \\ 0&0 & -2 & 6\\0 &0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 &-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.11.2008, 21:53

energyfull

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ja bis dahin verstehe ich das ja mit der matrixbildung, aber jetzt kommt der eigentliche teil:

ich hatte in meinem ersten beitrag gesagt was erfüllt werden muss für lineariät aber mein problem war es ja das zu anwenden

27.11.2008, 22:02

tigerbine

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Nun nutze doch, dass du eine Abbildungsmatrix hast, um die Forderungen zu überprüfen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 &-3\\ 0 &0 & 0 &0 \\ 0&0 & -2 & 6\\0 &0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 &-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

du kannst es natürlich auch mit den x-sen ausschreiben.

27.11.2008, 22:26

energyfull

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bin etas zu blöd für diese aufgabe
hat man jetzt so die linearität bewiesen,

27.11.2008, 22:28

tigerbine

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Nein, nur einen Teil davon. Du hast doch am Anfang schon gesagt, was du noch Prüfen musst. Vielfache und Summen. 0 auf 0 folgt aber aus diesen, und deswegen habe ich das mal vorgerechnet.

27.11.2008, 22:43

energyfull

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also ich muss überprüfen das gilt:
$\begin{eqnarray*} f(\lambda x+y) =\lambda f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$

und wenn ich jetzt die werte aus unserer matrix einsetze z.b.

$\begin{eqnarray*} f(\lambda 0+0) = \lambda f(0) +f(0) \end{eqnarray*}$

und das für alle macht man das so,

ich habe bis jetzt noch nie die linearität bewiesen und in der vorlesung hatten ir das auch nicht

27.11.2008, 23:00

tigerbine

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Zitat:

also ich muss überprüfen das gilt:
$\begin{eqnarray*} f(\lambda x+y) =\lambda f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$

Ja, oder du splittest es auf. Eins mach ich noch, dann ist Schluss für heute. Auch mal die Boardsuche benutzen. Ich nenne nun die Koordinaten eben k.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 &-3\\ 0 &0 & 0 &0 \\ 0&0 & -2 & 6\\0 &0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 &-3\end{pmatrix} \lambda \begin{pmatrix} k_0\\ k_1\\k_2\\k_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 &-3\\ 0 &0 & 0 &0 \\ 0&0 & -2 & 6\\0 &0 & 0 & 0\\ 0 &0 & 0 &-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\lambda k_0\\ \lambda k_1\\ \lambda k_2\\ \lambda k_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\lambda k_1 + 2 \lambda k_2 - 3\lambda k_3\\ 0\\ -2\lambda k_2 + 6\lambda k_3\\0 \\ -3 \lambda k_3 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} - k_1 + 2 k_2 - 3 k_3\\ 0\\ -2 k_2 + 6 k_3\\0 \\ -3 k_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun noch die Summe.

27.11.2008, 23:09

energyfull

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ok das versuche ich jetzt danke,

und habe noch eine frage bzgl. dieser aufgabe , ich soll basen von $\begin{eqnarray*} V_3, V_4 \end{eqnarray*}$ wählen und die marix von f bezüglich dieser basen bestimmen.

haben wir das nicht schon gemacht???

27.11.2008, 23:19

tigerbine

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Ja, das haben wir schon gemacht.

27.11.2008, 23:25

energyfull

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hmm ok danke, noch eine kleine frage, das was sie da gemacht haben ist doch:

$\begin{eqnarray*} f(\lambda *x) =\lambda f(x) \end{eqnarray*}$

und ich zeige noch das mit der addition

ok wohlübersehen, da steht ja ich soll die summe machen

27.11.2008, 23:42

tigerbine

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Genau das habe ich gezeigt, das andere bleibt für dich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.11.2008, 23:48

energyfull

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und zum abschluss:

f(x+y)= f(x)+f(y)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0+k_0 & -1+k_1 & 2+k_2 & -3+k_3 \\ 0+k_0 & 0+k_1 & 0+k_3 & 0+k_4\\ 0+k_0 & 0+k_1 & -2+k_2 & 6+k_3\\ 0+k_0 & 0+k_1 & 0+k_2 & 0+ k_3\\ 0 + k_0 & 0+k_1 & 0+k_2 & -3+k_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 6\\ 0 & 0 & 0 &-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k_0 \\ k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

können sie mir noch sagen ob ich es richtig gemacht habe bitte

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