Stetigkeit der inversen Funktion

30.08.2006, 16:33

irre.flexiv

Stetigkeit der inversen Funktion

Kennt jmd ein Beispiel für die folgende Bemerkung:

Aus $\begin{eqnarray*} f:A\longrightarrow B \end{eqnarray*}$ bijektiv und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ folgt i.A. nicht, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}:B\longrightarrow A \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y_0=fx_0 \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Ich kann mir jedenfall keins vorstellen verwirrt

30.08.2006, 16:41

Lazarus

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Woher hast du diesen Satz ?
Er ist falsch und wenn du willst liefere ich dir den Beweis dass das gegenteil zutreffen ist.
(Also dass die Umkehrung einer stetigen bijektiven Funktion wieder stetig ist)

30.08.2006, 16:51

irre.flexiv

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Hab ich aus nem Vorlesungsskrip das ich gerade durcharbeite.

Kannst du den Beweis bitte posten? Wäre nett =)

30.08.2006, 17:32

Lazarus

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Gerne.

Sei $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\; \mapsto \;\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetige, streng monoton wachsende (fallend analog dazu) Funktion mit $\begin{eqnarray*} A:=f(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B:=f(b) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} A<B \end{eqnarray*}$

Dann ist die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \widetilde{f} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} \widetilde{f}: [A;B] \; \mapsto [a;b] \end{eqnarray*}$

Die Monotonie von $\begin{eqnarray*} \widetilde{f} \end{eqnarray*}$ kannste ja leicht zeigen, also beschränk ich mich auf die Stetigkeit.

Sei dazu $\begin{eqnarray*} x \in [A;B] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n \in [A,B] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} x_n=x \end{eqnarray*}$ Dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \widetilde{f}\left(x_n\right) = \widetilde{f}\left(x\right) \end{eqnarray*}$

Angenommen dies sei nicht der Fall.

Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \left|\widetilde{f}\left(x_n\right) - \widetilde{f}\left(x\right)\right|\geqslant \epsilon \end{eqnarray*}$ für unendlich viele $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Folglich gibt es eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} \left(x_{n_k}\right)_{k\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left|\widetilde{f}\left(x_{n_k}\right) -\widetilde{f}(x)\right|\geqslant \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} a\leqslant\widetilde{f}\left(x_n\right)\leqslant b \end{eqnarray*}$ für alle n ist, kann man nach Bolzano-Weierstraß zeigen dass dass auch die Folge $\begin{eqnarray*} \widetilde{f}\left(x_{n_k}\right) \end{eqnarray*}$ konvergiert, sagen wir mal gegen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} \left|y- \widetilde{f}\left(x\right) \right| \geqslant \epsilon \qquad \quad \left(*\right) \end{eqnarray*}$

Nach der Definition der Umkehrfunktion ist $\begin{eqnarray*} f\left(\widetilde{f}\left(x_{n_k}\right)\right)=x_{n_k} \end{eqnarray*}$

Aus der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x=\lim_{k\to \infty} x_{n_k} = \lim_{k\to\infty}f\left(\widetilde{f}\left(x_{n_k}\right)\right)=f(y) \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} \widetilde{f}\left(x\right)=\widetilde{f}\left(f\left(y\right)\right) = y \end{eqnarray*}$

Dies steht im widerspruch zu $\begin{eqnarray*} \left(*\right) \end{eqnarray*}$
daher war die Annahme falsch und der Satz ist bewiesen.

Man könnte des auch direkt zeigen, aber den hier finde ich schöner Big Laugh

30.08.2006, 17:41

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viel interessanter ist, dass so ein wichtiger Satz falsch im Skript steht. Steht das wirklich genau so drin?

30.08.2006, 17:43

gessi

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@ Lazarus: Gilt der Beweis auch, wenn A und B allgemeine metrische Räume sind?

30.08.2006, 17:48

irre.flexiv

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@Lazarus danke für deine Mühe mal sehen ob ichs nachvollziehen kann =)

@n!

Im Skript steht das folgende Theorem:

Sei $\begin{eqnarray*} f: (a,b) \subset \mathbb R\longrightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend, $\begin{eqnarray*} B = f((a,b)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0\in (a,b) \end{eqnarray*}$ stetig.
Dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} : B \longrightarrow (a,b) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} y_0 = fx_0 \end{eqnarray*}$ stetig.

Den Satz zu beweisen ist mir gelungen. Danach steht diese Bemerkung, genauso wie ichs gepostet habe.

30.08.2006, 17:52

Lazarus

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Ja da hast du recht. @n!

Aber es ist auch wichtig zu beachten um welche Art Intervalle es sich bei der Abbildung handelt.

Beispiel:

sei $\begin{eqnarray*} f:[-1;1) \mapsto [-1;1) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x+1 \; \; \mbox{für } & -1 \leqslant x< 0 \\ x-1 \; \; \mbox{für } &0 \leqslant x < 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Allerdings ist $\begin{eqnarray*} g:= f^{-1} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ unstetig.

(beispiel von hier)

30.08.2006, 18:13

irre.flexiv

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Zitat:

Allerdings ist $\begin{eqnarray*} g:= f^{-1} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ unstetig.

Genauso wie f in x_0.

Ich denke mal Gessi hat den entscheidenden Knackpunkt angesprochen.

Edit: Ah jetzt hats klick gemacht @Lazarus. f ist in $\begin{eqnarray*} x_0=-1 \end{eqnarray*}$ stetig aber nicht $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} fx_0 = 0 \end{eqnarray*}$ . Super.

Das heißt aber auch das in deinem Beweis ein Fehler sein muss.
Du hast ja als $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ ein geschlossenes Intervall gewählt.

30.08.2006, 21:59

Lazarus

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Ja ich hatte $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ als geschlossenes Intervall.
Wie die Intervalle bei dir aussehen wusste ich da ja nicht.

Zu gessis Frage kann ich leider nicht viel sagen.
Ob der für allgemein Metrische Räume gilt kann ich leider nicht beantworten.

13.01.2009, 20:34

Wan

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In metrischen Raeumen:
Ist A kompakt und f:A->B bijektiv und stetig, dann ist auch die Inverse stetig.
Denn f bildet nun abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen ab.

Die Frage war jedoch, was gilt, wenn f nur in x0 stetig ist.

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