Monotones Wachstum und Konvergenz

26.11.2008, 13:45

katatonie

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Monotones Wachstum und Konvergenz

Man soll zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n:=(1-\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ monoton wachsend und konvergent ist.

Weiters soll man beweisen, dass ihr Grenzwert $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn n gegen unendlich läuft, dann wird der Bruch in der Klammer immer kleiner und die gesamte Klammer geht gegen 1..."übrig" bleibt dann $\begin{eqnarray*} 1^\infty \end{eqnarray*}$

Für monotones Wachstum gilt es zu beweisen, dass für alle $\begin{eqnarray*} n \in N: a_n \le a_{n+1} \end{eqnarray*}$ , richtig?

In diesem Fall:

$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n})^n \le (1-\frac{1}{n+1})^{n+1} \end{eqnarray*}$

26.11.2008, 13:48

tigerbine

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Ein puzzle Stück.
Wie lautet denn die Folge, deren Grenzwert e ist? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nenne mir eine obere Schranke der Folge und begründe dies.

Zitat:

Für monotones Wachstum gilt es zu beweisen, dass für alle $\begin{eqnarray*} n \in N: a_n \le a_{n+1} \end{eqnarray*}$ , richtig?

ja.

26.11.2008, 13:54

katatonie

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Eigentlich müsste $\begin{eqnarray*} a_n:=(1-\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ dann ja gegen 2,718281... konvergieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also stimmt $\begin{eqnarray*} 1^\infty \end{eqnarray*}$ nicht.

Das habe ich noch angefügt:

Für monotones Wachstum gilt es zu beweisen, dass für alle $\begin{eqnarray*} n \in N: a_n \le a_{n+1} \end{eqnarray*}$ , richtig?

In diesem Fall:

$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n})^n \le (1-\frac{1}{n+1})^{n+1} \end{eqnarray*}$

26.11.2008, 14:02

tigerbine

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Du musst die Fragen schon so nehmen, wie ich sie gestellt habe. Nicht mehr, und nicht weniger. Wenn du zeigen sollst, dass die Folge den Grenzwert e^{-1} hat, wird man sie wohl mit der Folge in Verbindung bringen müssen, die e als Grenzwert hat. Diese sollte man als bekannt annehmen dürfen.

Also,wie lautet diese?

26.11.2008, 14:02

tmo

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Zitat:

Original von katatonie
Eigentlich müsste $\begin{eqnarray*} a_n:=(1-\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ dann ja gegen 2,718281... konvergieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nein gegen $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ . Nicht gegen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ . Steht doch sogar in der Aufgabe.

Zitat:

Original von katatonie
Also stimmt $\begin{eqnarray*} 1^\infty \end{eqnarray*}$ nicht.

Das stimmt sowieso nie. Mit unendlich wird nicht gerechnet.

Zitat:

Original von katatonie
Für monotones Wachstum gilt es zu beweisen, dass für alle $\begin{eqnarray*} n \in N: a_n \le a_{n+1} \end{eqnarray*}$ , richtig?

In diesem Fall:

$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n})^n \le (1-\frac{1}{n+1})^{n+1} \end{eqnarray*}$

Das ist korrekt. Einfacher ist es hier allerdings die in diesem Fall (da die Folgenglieder positiv sind) äquivalente Formulierung $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \end{eqnarray*}$ zu beweisen.

edit: Warum wirst du mir als offline angezeigt tigerbine? verwirrt

verwirrt

26.11.2008, 14:10

katatonie

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Also...die Folge mit Grenzwert e:

$\begin{eqnarray*} $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n \end{eqnarray*}$

Wie beweise ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \end{eqnarray*}$ ?

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26.11.2008, 14:34

klarsoweit

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RE: Monotones Wachstum und Konvergenz
Indem du $\begin{eqnarray*} a_n:=(1-\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ einsetzt und geeignet umformst.

26.11.2008, 14:51

katatonie

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Also $\begin{eqnarray*} \frac{(1-\frac{1}{n})^n+1}{(1-\frac{1}{n})^n} \geq 1 \end{eqnarray*}$

Aber n muss ich doch jetzt gegen unendlich laufen lassen, oder?

26.11.2008, 15:00

klarsoweit

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Im Zähler steht nicht das Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Außerdem geht es erstmal um Monotonie und nicht um die Bildung eines Grenzwertes.

26.11.2008, 23:30

katatonie

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Aber man geht doch von $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \end{eqnarray*}$ aus, oder?

Sollte ich da die Klammern auflösen oder ist das gar nicht nötig?

In dem Fall war mein Ausgangsterm wohl ohnehin falsch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich weiß ja, dass n auf jeden Fall größer 0 ist (Element der natürlichen Zahlen ohne Null), also stimmt diese Ungleichung doch sicher...?!

27.11.2008, 11:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von katatonie
Aber man geht doch von $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \end{eqnarray*}$ aus, oder?

Davon geht man nicht aus, sondern das ist zu zeigen.

Zitat:

Original von katatonie
Ich weiß ja, dass n auf jeden Fall größer 0 ist (Element der natürlichen Zahlen ohne Null), also stimmt diese Ungleichung doch sicher...?!

Vermutungen helfen nicht weiter. Deine Begründung gilt auch für a_n = 1/n. Trotzdem ist $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} < 1 \end{eqnarray*}$ .

Nach deinem Beitrag im Off-Topic hätte ich erwartet, daß dein mathematisches Verständnis etwas größer ist.

Damit es weiter geht, poste ich mal die ersten Schritte:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(1-\frac{1}{n+1})^{n+1}}{(1-\frac{1}{n})^n} = \frac{\frac{n-1}{n} \cdot (\frac{n}{n+1})^{n+1}}{(\frac{n-1}{n})^{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n} \cdot \left( \frac{n^2}{n^2-1} \right)^{n+1} = \frac{n-1}{n} \cdot \left( 1 + \frac{1}{n^2-1} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Für den Potenzausdruck brauchst du nun die Bernoullische Ungleichung $\begin{eqnarray*} (1+a)^n \geq 1 + a \cdot n \end{eqnarray*}$ .

27.11.2008, 14:45

katatonie

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In dem Beitrag hatte ich mein "mathematisches Verständnis" doch eher in Frage gestellt.

Sieht das nach Bernoulli dann so aus?
Bei den Beispielen im Skript wird n immer gegen unendlich geschickt (also, bei den Bernoulli-Beispielen).

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{1}{n^2-1} \right)^{n+1} \geq \left( 1 + \frac{1}{n^2-1} \right) \cdot {n+1} \end{eqnarray*}$

27.11.2008, 15:01

klarsoweit

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Da hast du die Bernoullische Ungleichung falsch angewendet. Ob da n gegen unendlich läuft oder nicht, ist für die Ungleichung völlig unerheblich.

27.11.2008, 15:48

katatonie

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$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{1}{n^2-1} \right)^{n+1} \geq 1 + \frac{1}{n^2-1} \cdot (n+1) \end{eqnarray*}$

So richtig?

27.11.2008, 17:59

gast555436

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ja, genau. so ist es richtig.
biste schon weitergekommen mit dem beweisen des grenzwertes?

27.11.2008, 18:02

katatonie

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Dafür müsste ich wohl $\begin{eqnarray*} $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n \end{eqnarray*}$ verwenden, also die Folge mit Grenzwert e.

27.11.2008, 18:15

tmo

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Eins nach dem andern. Erstmal die Monotonie fertig beweisen.

Du hast jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq \frac{n-1}{n}\left(1+\frac{1}{n^2-1}(n+1)\right) \end{eqnarray*}$

Wie kannst du weitermachen?

27.11.2008, 18:27

katatonie

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$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq \frac{n-1}{n}\left(1+\frac{n+1}{n^2-1}\right) \end{eqnarray*}$

Soll ich jetzt die Klammer auflösen?

27.11.2008, 18:29

tmo

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Zum Beispiel.

Du könntest allerdings auch erstmal in der Klammer kürzen.

27.11.2008, 18:45

katatonie

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$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq \frac{n-1}{n}\left(1+\frac{n+1}{n^2-1}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq \frac{n-1}{n}\left(1+\frac{1}{n-1}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq \frac{n-1}{n}\left(\frac{n}{n-1}\right) \end{eqnarray*}$

27.11.2008, 18:46

tmo

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Und das ergibt dann? Warum muss man denn alles aus der Nase ziehen unglücklich

unglücklich

27.11.2008, 18:48

katatonie

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ups, da ist was verlorengegangen

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1 \end{eqnarray*}$

27.11.2008, 18:55

tmo

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Ja, also. Damit ist die Monotonie bewiesen. Nun noch die Beschränktheit.

27.11.2008, 19:37

katatonie

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Man soll zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n:=(1-\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ monoton wachsend und konvergent ist.

Also, jetzt ist natürlich nur die Frage, welches Kriterium man hier anwenden muss, um die Konvergenz zu zeigen.

Und laut Aufgabenstellung sollte sie ja auch gegen $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ konvergieren.

27.11.2008, 19:39

marcohuig

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hey, bin zwar nicht der threadsteller, aber ich denk mal die beschränktheit wird ihm au klar sein, der term in der klammer, also 1-1/n ist ja immer kleiner 1, damit die potenz auch. und monoton wachsend + beschränkt bedeutet ja dass die reihe auf jeden fall konvergiert. bleibt also zu beweisen dass der grenz wert 1/e ist.

hat da jemand vllt nen tipp auf lager, ausser dass ich die folge $\begin{eqnarray*} (1- \frac{1}{n} )^{n]=e \end{eqnarray*}$ verwenden kann, weil das hilft mir mal garnicht?

27.11.2008, 19:42

marcohuig

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hey, bin zwar nicht der threadsteller, aber ich denk mal die beschränktheit wird ihm au klar sein, der term in der klammer, also 1-1/n ist ja immer kleiner 1, damit die potenz auch. und monoton wachsend + beschränkt bedeutet ja dass die reihe auf jeden fall konvergiert. bleibt also zu beweisen dass der grenz wert 1/e ist.

hat da jemand vllt nen tipp auf lager, ausser dass ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1- \frac{1}{n} )^{n}=e \end{eqnarray*}$ verwenden kann, weil das hilft mir mal garnicht?

27.11.2008, 19:45

tmo

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$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n} = \frac{n-1}{n} = \cfrac{1}{\frac{n}{n-1}} \end{eqnarray*}$

27.11.2008, 19:45

tigerbine

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1. Es ist nicht dein Thread, also drängle nicht mit deiner Teilfrage vor.

2. Wenn du schon dazwischen fragst, dann aber doch auch richtig.

Zitat:

Original von marcohuig $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1- \frac{1}{n} )^{n}=e \end{eqnarray*}$

unglücklich

Das ist wohl mal falsch....

27.11.2008, 19:50

marcohuig

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ja, sry, ich dachte das ist ein board wo einem geholfen wird.
und sorry teil zwei, dass ich ein plus mit einem minus verwechselt.
du brauchst mir nicht helfen, lass es einfach wenn ich dich drängel.

27.11.2008, 20:16

tigerbine

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OT:

Zitat:

Original von marcohuig
ja, sry, ich dachte das ist ein board wo einem geholfen wird.

Das ist es auch. Dennoch bewahren wir uns eine gewisse Form

Zitat:

und sorry teil zwei, dass ich ein plus mit einem minus verwechselt.

Die Formel stand halt auch noch gar nicht in diesem Thread. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mehr sage ich dazu nicht und entschuldige mich beim Fragesteller für die Unterbrechung. Wink

Wink

27.11.2008, 20:23

katatonie

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Keine Problem. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also:

$\begin{eqnarray*} a_n:=(1-\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$

Geht das vielleicht mit dem Cauchykriterium?

Eine Grenze zu schätzen wäre nicht richtig/ausreichend nehme ich an.
Andere Studenten haben das nämlich gemacht...aber "Beweis" ist das ja keiner.

28.11.2008, 09:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von katatonie
Eine Grenze zu schätzen wäre nicht richtig/ausreichend nehme ich an.
Andere Studenten haben das nämlich gemacht...aber "Beweis" ist das ja keiner.

Wieso nicht? Was meinst du, warum man langatmig die Monotonie bewiesen hat? Bekanntlich gilt:

Ist eine Folge monoton steigend und nach oben beschränkt, dann ist sie konvergent.

Daß 1 eine obere Schranke ist, liegt auf der Hand. Siehe auch Beitrag von marcohuig.

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