Orthonormalbasis

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TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis
Hallo
Ich habe einen Unterraum in R^5, der von den Vektoren (1,2,0,2,1) und (1,1,1,1,1) aufgespannt wird. Jetzt soll ich eine Orthonormalbasis von U und von U "senkrecht" bestimmen.

Zunächst einmal: Ist eine Orthonormalbasis dann in diesem Fall noch eine Ebene, die zu der gegebenen senkrecht steht und außerdem jeder Richtungsvektor die Länge 1 hat?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthonormalbasis
Eine Orthonormalbasis kann keine Ebene sein, da sie nur eine Menge von (im Fall von U gerade mal zwei) Vektoren darstellt. Eine Orthonormalbasis ist eine Basis, bei der die Vektoren paarweise senkrecht aufeinander stehen und alle Vektoren die Länge 1 haben.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie mache ich das? Erst mal einen Vektor normieren oder? Sagen wir den zweiten, also 1/wurzel5
Und dann muss das Skalarprodukt mit dem gesuchten Vektor 0 sein.
Also:

1/wurzel5 (u1+u2+u3+u4+u5) = 0

Und dann muss dieser gesuchte Vektor natürlich im Unterraum sein.

Aber wie soll man das machen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Das Normieren kann man auch ganz am Ende machen, wichtig ist es erstmal die Vektoren zu orthogonalisieren, sonst rechnet man ja mit den ganzen Wurzeln rum.

Allgemein macht man das damit: http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke

ich habe folgendes raus:



Jetzt soll ich auch die Orthonormalbasis von U "senkrecht" (da ist so ein umgedrehtes T) berechnen? Ist das ein Unterraum, der senkrecht auf U steht, oder wie soll ich mir das vorstellen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht schon mal richtig aus, aber ich würde den Normierungsfaktor draußen lassen, z.B. so:

(ist übersichtlicher)

ist der Unterraum, der aus den Vektoren besteht, die auf allen Vektoren aus U senkrecht stehen. Im R³ sehr anschaulich wenn z.B. eine Ebene ist, so ist eine Ursprungsgerade, die senkrecht zu U verläuft.

Berechnung erfolgt so, dass Du die Basis von U nimmst, sie zu einer Basis von V ergänzt und dann per Gram-Schmidt komplett orthogonalisierst. Die Vektoren, die Du jetzt zusätzlich hast, sind eine Basis von .

Tipp: Ein paar Vektoren, die senkrecht auf U stehen, sieht man schon, (1,0,0,0,-1) zum Beispiel. Erspart etwas Arbeit.
 
 
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit "zu einer Basis von V ergänzen" ? Jetzt noch 3 weiter linear unabhängige Vektoren suchen?

Könntest du dir bitte folgendes Skript anschauen. Es geht um die Aufgaben 1.59, 1.63, 2.1, 2.3:
http://www.mathematik.uni-erlangen.de/~beck/la1/laset.pdf

Ich hab nicht gerade die praktische Erfahrung mit so etwas. Ich muss mal los, bitte schreib mir Vorschläge hin, wie ich die Aufgabe am besten lösen und hinschreiben kann.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Genau! Du hast doch schon zwei Vektoren gefunden, nennen wir sie v1 und v2 und es ist U=<v1,v2>. Wie man sieht ist z.B {v1,v2,e1,e2,e3} eine Basis von V und wenn Du die Orthogonalisierung fortsetzt, erhältst Du eine Orthogonalbasis {v1,v2,v3,v4,v5} von V. {v1,v2} ist natürlich weiterhin Basis von U und {v3,v4,v5} ist dann eine (orthogonale!) Basis des orthogonalen Komplements.

e1,e2 und e3 sind natürlich die Standardvektoren, aber Du kannst hier auch andere Vektoren wie z.B. (1,0,0,0,-1) wählen, um die Arbeit etwas zu verkürzen, hauptsache es wird eine Basis für V.

Zu den weiteren Aufgaben: Ohne Ansätze oder konkrete Fragen kann und will ich nicht helfen. Zunge
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab jetzt meine ONB von U schon ausgerechnet, und dann füg ich z.B. drei Einheitsvektoren hinzu. Aber wenn ich noch mal dieses Gram-Schmidtsche Verfahren anwende, verändere ich doch die ersten beiden.

Ne passt schon, ich kann ja gleich mit dem 3. Vektor anfangen. Wahrscheinlich schreib ich dann wieder meine Lösung hin.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage zu 1.63
Bei der Geraden macht man ja das Skalarprodukt von Vektor v und dem Richtungsvektor der Geraden durch die Norm vom Richtungsvektor mal den Richtungsvektor. Also:



Wie mach ich jetzt die Orthogonalprojektion auf eine Ebene?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich machst Du ja folgendes:
Sei eine Orthogonalbasis von V.
Es ist die Darstellung von v und wenn Du auf projizierst, bildest Du es auf ab. Setze einfach obiges v in Deine Formel ein und Du siehst, dass das wunderbar funktioniert.

Ist U nun mehrdimensional, so musst Du eine Orthogonalbasis von V finden, wobei natürlich eine Basis von U ist.
Wir folgen nun dem Prinzip von oben, d.h. wird auf abgebildet. Für beliebiges v erhältst Du die Koeffizienten durch .
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Ist P_L(v)= (1,5; 1,5; 0; 0) ?

Und der Abstand ist dann einfach die Länge von (v-P_L(v)), oder?

Für d(v,L) hab ich 1/2 wurzel 2.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Passt! smile
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