Konvergenz/Divergenz bei Reihen |
| 26.11.2008, 22:26 | sinachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Konvergenz/Divergenz bei Reihen Hab mit dem angesprochenen Thema leider so meine Probleme! 
1. Gibt es ähnlich wie bei den Folgen auch bei Reihen Bedingungen (Beschränktheit, Monotonie) wodurch sich Konvergenz und Divergenz bei Reihen zum Teil bestimmen lassen? 2. Kann mir jemand möglichst einfach (am besten an einem Beispiel) das Majoranten- und Minorantenkriterium erklären? 3. Wie sehe ich möglichst schnell ob ich Quotienten-, Majoranten- oder das Minorantenkriterium anwenden muss? |
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| 27.11.2008, 11:25 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Konvergenz/Divergenz bei Reihen
In gewisser Weise schon. Die Konvergenz von Reihen läßt sich prinzipiell auf die Konvergenz von Folgen zurückführen. Bei der Konvergenz von Reihen geht es letztlich um die Konvergenz der Partialsummenfolge . Ist die Folge (a_k) nicht negativ und die Folge (S_n) nach oben beschränkt, dann konvergiert diese.
Gilt für 2 Folgen (a_k) und (b_k) die Ungleichung 0 <= a_k <= b_k und konvergiert , dann konvergiert auch . Eigentlich simpel, nicht? 
Analog für Minorante.
Erfahrung. 
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| 27.11.2008, 15:14 | sinachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
1.Also gilt für Reihen, genauso wie für Folgen: Eine monoton steigende und nach oben beschränkte Folge ist konvergent. Eine monoton fallende und nach unten beschränkte Folge ist konvergent. Oder? 2.Danke, ich werde es versuchen zu verstehen
3.Gibts da echt überhaupt keine Tricks?^^ Danke schonmal! 
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| 27.11.2008, 15:40 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Reihe, nicht Folge.
Wie gesagt, mit etwas Erfahrung sieht man schnell, ob einem das Quotienten- oder Wurzelkriterium helfen kann. Dann probiert man es eben damit. |
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| 27.11.2008, 15:58 | sinachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry, meinte ja Reihe, aber Folge ist ja auch richtig
Kann mir jemand möglichst einfach erklären, warum bei 1/n² die Summe der Partialsummen beschränkt ist und somit diese Reihe konvergent ist? |
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| 27.11.2008, 17:08 | sinachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie kann ich denn eine Minorante oder Majorante eigentlich wählen? Irgendwie steh ich gerade ziemlich auf dem Schlauch^^ |
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| 27.11.2008, 17:42 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es ist für n >= 2. Obendrein gilt:
Siehe Beispiel oben.
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| 27.11.2008, 17:52 | sinachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und wie kommt man darauf?^^ |
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| 27.11.2008, 18:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ein paar Geheimnisse wollen wir schon für uns behalten.
Du kannst die Formel leicht mit vollständiger Induktion zeihen. |
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| 27.11.2008, 18:26 | sinachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aha 
Wie seh ich denn ob eine Reihe beschränkt ist? Gibt es dann einen Unterschied zu einer normalen Funktion? |
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| 27.11.2008, 20:53 | sinachen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn ich das Grenzwertkriterium benutzen möchte, muss ich dann irgendwas bei der Auswahl der Reihe beachten (außer ob sie halt Konvergent oder Divergent ist)? Hab bis jetzt immer 1/n und 1/n² benutzt, aber bislang bekam ich immer + unendlich raus, obwohl ich schon das richtige Ergebnis habe und jetzt dieses nur nochmal beweisen möchte. |
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