Konvergenz&Divergenz bei Reihen

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krümmelchen Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz&Divergenz bei Reihen
Hallo an alle!

Haben ein neues Aufgabenblatt bekomme wo ich etwas festhänge. Also die Aufgabe lautet:

Welche der nachfolgenden Reihen sind konvergent, welche divergent? Begründen Sie ihre Antwort.

Es sollen also kein Wurzelkriterium, Quotientenkriterium oder was mit Minoranten und Majoranten bewiesen werden, das komm erst in einer anderen Aufgabe.



Durch einsetzen sehe ich, dass es divergent ist, da es gegen + unendlich läuft. was auch logisch ist, da 5 hoch irgendwas immer größer sein wird als n* 3 hoch irgendwas...aber ich denke das wird als begründung nicht reichen. oder doch? ist es denn richtig dass es divergent ist? werde die anderen 4 reihen auch noch eben reinschreiben und was ich denke...vielleicht kann mir da jemand einen gedakenanstoss geben.



-> da bin ich mir nicht sicher, da es alternierend ist...



-> konvergent



-> konvergent, da es gegen 1 strebt



-> konvergent, da es gegen 0 strebt

Danke schonmal für die Hilfe!
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
was "strebt gegen 1 oder 0"?

Und: Man kann Reihen oft nicht direkt anssehen, ob die konvergent oder divergent sind. Da muss man dann meisten auf ein entsprechendes Kriterium zurückgreifen.
krümmelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Die Reihe strebt gegen 0 bzw. 1. Ich hab ja einfach Werte für n eingesetzt um zu sehen, ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Dabei kam halt das raus was ich oben geschrieben habe.

Also muss ich doch ein Kriterium anwenden, auch wenn es nicht gefragt ist?
Soz.Päd. Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag,

also, bei uns damals hat es nicht genügt, Werte in einen Rechner einzugeben und durch das errechnete Verhalten die Konvergenz bzw. Divergenz abzuleiten.

Wir mussten es per Kopf formel bzw. mit entsprechenden Kriterien begründen.

Gruß
Soz.Päd.
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du sollst deine Vermutung denke ich mathematisch begründen, d.h. es langt nicht einfach zu sagen, ich hab es mal für einige n getestet und da sah das aus wie... An diese Sache mit Kriterien heranzugehen, die dir schon bekannt sind, ist sicher ein guter Weg.

Die Vermutung zu deiner ersten Reihe ist richtig, doch ist das was du dazu geschrieben hast keine mathematische Begründung.

Was soll denn bei deiner zweiten Reihe alternierend sein?

Die Vermutung zu deiner dritten Reihe ist falsch.

Die Vermutung zu deiner vierten Reihe ist richtig, nur versteh ich nicht, was du mit "weil es gegen 1 strebt" meinst.

Die Vermutung zu deiner fünften Reihe ist richtig, nur versteh ich auch hier nicht, was du mit "weil es gegen 0 strebt" meinst.
krümmelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dass ich noch Kriterien anwenden muss ist mir bewusst. Nur sind mir ausser Wurzelkriterium und Quotientenkriterium keine bekannt, und die Kriterien soll ich in dieser Aufgabe nicht anwenden. Deswegen stehe ich auch auf dem Schlauch.

Was ist dass denn bei der zweiten Reihe? Ich habe ja wie gesagt zuerst Werte für n eingesetzt um zu gucken ob es kovergent oder divergent ist. Bei dieser Reihe war es aber halt abwechselnd, die Werte wuchsen und stiegen immer abwechselnd. Deswegen war ich mir da nicht sicher was das ist.

Und mit dem strebt gegen meine ich, dass sie Werte sich 0 bzw. 1 annähern. Da liegt also der Grenzwert der Reihe.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von krümmelchen
Ja dass ich noch Kriterien anwenden muss ist mir bewusst. Nur sind mir ausser Wurzelkriterium und Quotientenkriterium keine bekannt, und die Kriterien soll ich in dieser Aufgabe nicht anwenden. Deswegen stehe ich auch auf dem Schlauch.

Wenn du kein Kriterium anwenden darfst, dann ist die Aufgabe inhaltlich daneben. Da bleibt dir ja fast nur, die Monotonie und Beschränktheit der Partialsummen zu zeigen. Natürlich solltest du vorher auch prüfen, ob die Summanden gegen Null konvergieren.

Zitat:
Original von krümmelchen
Was ist dass denn bei der zweiten Reihe? Ich habe ja wie gesagt zuerst Werte für n eingesetzt um zu gucken ob es kovergent oder divergent ist. Bei dieser Reihe war es aber halt abwechselnd, die Werte wuchsen und stiegen immer abwechselnd. Deswegen war ich mir da nicht sicher was das ist.

Könntest du mal zeigen, für welche n-Werte du was gerechnet hast?

Zitat:
Original von krümmelchen
Und mit dem strebt gegen meine ich, dass sie Werte sich 0 bzw. 1 annähern. Da liegt also der Grenzwert der Reihe.

So, so? verwirrt

Es ist

Wie soll da die Summe noch gegen 1 konvergieren? verwirrt

Es ist

Wie soll da die Summe noch gegen 0 konvergieren? verwirrt
krümmelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Aber es gibt doch bestimmt noch andere Kriterien als das Wurzel- und das Quotientenkriterium oder? Es geht ja nur um diese beiden die in dieser Aufgabe nicht angewendet werden sollen.

Also das mit der alternierenden Reihe hat sich erledigt. Die Reihe ist monoton fallend und konvergiert gegen 0. Ist das richtig?

Bei dem Rest bin ich jetzt verunsichert...beim ersten hatte ich allerdings auch konvergiert gegen 0, was aber ja dann auch nicht mehr sein kann nach der Rechnung.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von krümmelchen
Aber es gibt doch bestimmt noch andere Kriterien als das Wurzel- und das Quotientenkriterium oder? Es geht ja nur um diese beiden die in dieser Aufgabe nicht angewendet werden sollen.

Zitat:
Original von krümmelchen
Es sollen also kein Wurzelkriterium, Quotientenkriterium oder was mit Minoranten und Majoranten bewiesen werden, das komm erst in einer anderen Aufgabe.

Geht jetzt Minoranten- oder Majoranten-Kriterium oder nicht?

Zitat:
Original von krümmelchen
Bei dem Rest bin ich jetzt verunsichert...beim ersten hatte ich allerdings auch konvergiert gegen 0, was aber ja dann auch nicht mehr sein kann nach der Rechnung.

Da täte mich interessieren, was du da so rechnest.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von krümmelchen
Also das mit der alternierenden Reihe hat sich erledigt. Die Reihe ist monoton fallend und konvergiert gegen 0. Ist das richtig?

Eigentlich hat es Romaxx schon gesagt, ich wiederhole es nur nochmal: Nr. 2 ist keine alternierende Reihe. Unter einer alternierenden Reihe versteht man eine Reihe, wo die Reihenglieder abwechselnd positiv und negativ sind.

Dein "monoton fallend und konvergiert gegen 0" bezieht sich nicht auf die Reihe, sondern die Reihenglieder, und ist diesbezüglich durchaus richtig. Allerdings sagt das nicht das geringste über die Konvergenz der Reihe aus: Die ist nämlich divergent, wie sich durch eine Minorantenabschätzung gegen eine harmonische Reihe zeigen lässt.
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