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27.11.2008, 15:08

dominik22

Stab

Ein Stab der Länge 1 wird in 2 teile gebrochen (gleichverteilt). Sei X die Länge der kürzeren Seite. Berechne E(X) und F(X)

für E(X) = 1/2 / 2 = 1/4, aber leider weiß ich nicht wie ich an die verteilungsfunktion da rangehen soll unglücklich

27.11.2008, 16:40

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Zitat:

Original von dominik22
leider weiß ich nicht wie ich an die verteilungsfunktion da rangehen soll unglücklich

Am besten geradlinig und systematisch:

Sei $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ der Teilungspunkt auf dem Stab. Der ist stetig gleichverteilt auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ , d.h., mit Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F_Y(t) = P(Y\leq t) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; t < 0 \\ t & \;\mbox{für}\; 0 \leq t < 1 \\ 1 & \;\mbox{für}\; t \geq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Nun sind $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 1-Y \end{eqnarray*}$ die Längen der beiden Teilstücke, demnach ist $\begin{eqnarray*} X = \min\{ Y, 1-Y \} \end{eqnarray*}$ das in der Aufgabenstellung genannte kleinere Teilstück. Jetzt kann man doch einfach die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ aus der von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ berechnen:

$\begin{eqnarray*} F_X(t) = P(X\leq t) = P(\min\{ Y, 1-Y \} \leq t) = P(Y\leq t \, \vee 1-Y\leq t) = P(Y\leq t \, \vee Y\geq 1-t) \end{eqnarray*}$ .

Klar, wie's weitergeht? Beachte, dass die drei Fälle $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0\leq t < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} t\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ betrachtet werden sollten.

27.11.2008, 17:57

dominik22

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hmm also ihc hab jetzt einfach x / 1/2 = 2x für die verteilungsfunktion raus. da
im zähler : x-0 / 1/2 - 0. im nenner die möglich streckenlänge (1/2 ist endpunkt von X laut unseren tutorien) und im zähler die variable x

27.11.2008, 18:36

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Für $\begin{eqnarray*} 0\leq x \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} F_X(x) = 2x \end{eqnarray*}$ richtig, aber deine Begründung würde mich ihrer Knappheit wegen nicht überzeugen.

27.11.2008, 19:37

dominik22

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ja super. ich brauch doch nur zwischen 0 und 1/2 betrachten, da ja der stab in 2 hälften geteilt wird und ich die küzere betrachte

27.11.2008, 20:04

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Ja, und? Wie ich schon sagte, mir fehlt eine stichhaltige Begründung in deinem Beitrag.

Z.B. kann man den Stab ja auch mit zwei gleichverteilten Teilungspunkten in drei Teile zerlegen. In dem Fall hat das kürzeste Teil $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ aber nicht die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X(t) = 3t \end{eqnarray*}$ , wie man es getreu deiner Heuristik etwa erwarten würde, sondern $\begin{eqnarray*} F_X(t) = 6t-9t^2 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

27.11.2008, 21:31

dominik22

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okay arthur du hast mich smile

. warum ist es denn nun 2x, versteh das mit der verteilungsfkt noch nicht ganz richtig anscheinend

27.11.2008, 22:05

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Naja, das baut auf dem auf, was ich oben schon geschrieben hatte:

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} F_X(t) = \ldots = P(Y\leq t \, \vee Y\geq 1-t) \end{eqnarray*}$

Im Fall $\begin{eqnarray*} 0\leq t < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sind die beiden Ereignisse $\begin{eqnarray*} Y\leq t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y\geq 1-t \end{eqnarray*}$ disjunkt, so dass man für diese $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ so weiter umformen kann:

$\begin{eqnarray*} F_X(t) = P(Y\leq t) + P(Y\geq 1-t) = F_Y(t) + (1-F_Y(1-t)) = t + (1-(1-t)) = 2t \end{eqnarray*}$ .

In den anderen beiden Fällen ergibt sich natürlich $\begin{eqnarray*} F_X(t)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} F_X(t)=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Kurz gesagt ist also $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gleichverteilt auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[0,\frac{1}{2} \right] \end{eqnarray*}$ .

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Das mag alles auf den ersten Blick übertrieben aussehen, aber diese Sorgfältigkeit macht sich bei komplizierteren Problemen (wie dem erwähnten mit den drei Teilstäben) bezahlt. Augenzwinkern

28.11.2008, 00:01

dominik22

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vielen dank !! das hilft wirklich sehr weiter

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