Vandermonde-Determinante mit Induktion

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Rainer Auf diesen Beitrag antworten »
Vandermonde-Determinante mit Induktion
Hallo!
Wir sollen mit Induktion zeigen, dass für die Determinante von der Vandermonde-Matrix (http:/ /de.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_Determinante) gilt:



Wobei unter dem Produktzeichen steht.
Habe bis jetzt:


Induktionsanfang für n=2



Induktionsanahme für n>=2



Induktionsbehauptung für n+1


Und nun hänge ich... Hab keine Idee wie ich den Beweis durchführen kann... hat jemand einen Ansatz? smile Irgendwie hab ich das ungute Gefühl, dass da viel Arbeit auf mich zukommt :P

MfG
Rainer Auf diesen Beitrag antworten »

muss ich das vll einfach nur für n=3 nachweisen? habs ja für n=2 gezeigt... dann rechnet ich halt einfach die determinaten dafür aus...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ziehe von der letzten Spalte der Matrix das -fache der vorletzten, danach von der vorletzten das -fache der vorvorletzten ab usw. Was passiert bei den Umformungen mit der Determinante? Was kommt am Ende heraus und wie kannst du das Ergebnis vereinfachen?
Rainer Auf diesen Beitrag antworten »

hm leider versteh ich nicht so ganz was du mir sagen willst Augenzwinkern Soll ich mit Gauß ein LGS aufstellen?

habe die det() von n=3 berechnet, ist bei mir:


.

da hab ich wenigstens schon die Form drin, die ich am ende haben will. Bloß wie krieg ich den Faktor vor den klammern weg?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

In einer Matrix kann man von einer Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte abziehen, ohne dass sich die Determinante ändert. Und genau das sollst du mache, nichts mit Gleichungssystem.
carina88 Auf diesen Beitrag antworten »

hey ich sitz auch an der aufgabe, ich hab im internet verschiedene ansätze für den induktionsschluss gefunden und weiß nicht so recht wie ich anfangen soll, ist es am besten ersteinmal "Ziehe von der letzten Spalte der Matrix das -fache der vorletzten, danach von der vorletzten das -fache der vorvorletzten ab usw. " ? kann ich nciht auch mit zeilenunformungen abreiten? irgendwo stand auch das x1-fach der vorherigen zeile von jeder abziehen, geht das auch?
lg carina
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zeilenumformungen bringen meiner Meinung nach hier nicht viel. Du kannst auch das fache der vorletzten von der letzten, dann das -fache von der vorvorletzten von der vorletzten abziehen usw., aber das ist bis auf den Index exakt das gleiche Spiel.
carina88 Auf diesen Beitrag antworten »

okay dann komm ich auf:

aber ich probier das doch eigentlich so zu formen, dass ich eine zeile oder summe mit vielen nullen habe oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber das würdest du auch bekommen, wenn du den Tipp verfolgst. Lies nochmal, was ich oben geschrieben habe: Welches Vielfache der vorletzten Spalte soll von der letzten Spalte abgezogen werden usw.?
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