Abgeschlossenheit des Einheitskreises

27.11.2008, 18:30

Duedi

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Abgeschlossenheit des Einheitskreises

Zu Zeigen: $\begin{eqnarray*} A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:~~x^2+y^2\leq1\}\subset\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ abgeschlossen.

Bisher haben wir das immer so gemacht, indem wir gezeigt hatten, dass die Komplementärmenge offen ist, was aber hier schwierig. Ich kann die Menge A als Kugel mit Rand darstellen ( $\begin{eqnarray*} B_1((0,0)) := \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:~~d((x,y),(0,0)) \leq 1\} \end{eqnarray*}$ ). Kann ich dann einfach sagen, dass diese Kugel abgeschlossen ist oder ist das zu vage?

27.11.2008, 18:42

tmo

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Warum ist das hier schwierig?

Sei $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2) \in \mathbb R^2 \setminus A \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist, dass eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ existiert, die ganz in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \setminus A \end{eqnarray*}$ liegt, also keine gemeinsamen Elemente mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hat.

Definiere $\begin{eqnarray*} h := x_1^2+x_2^2 - 1 = d(x,0) -1 \end{eqnarray*}$ . Nach Vorraussetzung ist $\begin{eqnarray*} h > 0 \end{eqnarray*}$ . Betrachte nun $\begin{eqnarray*} B_h(x) := \{ y \in \mathbb R^2 \mid d(x,y) < h \} \end{eqnarray*}$ und zeige $\begin{eqnarray*} A \cap B_h(x) = \emptyset \end{eqnarray*}$

27.11.2008, 18:52

Duedi

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Sry, mich verwirren gerade die unterschiedlichen Bezeichnungen von x, da setzt meine Vorstellungskraft aus. Außerdem kann ich mir ebenfalls nicht vorstellen, wie zwei Kugeln mit demselben Mittelpunkt und nur verschiedenen Radien keinen Schnitt haben können verwirrt

verwirrt

27.11.2008, 19:30

Duedi

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Oder sehe ich das richtig, dass es sich bei deinem Vorschlag um einen Kreis handelt, der nicht im R^2 darstellbar ist?

27.11.2008, 19:32

tmo

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Zitat:

Original von Duedi
Außerdem kann ich mir ebenfalls nicht vorstellen, wie zwei Kugeln mit demselben Mittelpunkt und nur verschiedenen Radien keinen Schnitt haben können verwirrt

verwirrt

Wie kommst du auf die Idee, dass die den selben Mittelpunkt haben?

27.11.2008, 19:38

Duedi

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Ja da habe ich mich geirrt. Man kann diese "kugel" also nicht als Kreis im R² darstellen?

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27.11.2008, 19:40

tmo

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Aber sicher doch. Die Menge $\begin{eqnarray*} B_h(x) \end{eqnarray*}$ ist die Kreisfläche (ohne Rand) eines Kreises mit dem Mittelpunkt x und dem Radius h.

27.11.2008, 19:43

Duedi

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Und der überdeckt ganz R² und schneidet nicht A?

27.11.2008, 19:44

tmo

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Warum sollte der denn ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ überdecken? $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist doch endlich.

27.11.2008, 19:47

Duedi

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Achsoooooo, du meinst, dass $\begin{eqnarray*} A^c = \bigcup_xB_h(x) \end{eqnarray*}$ ist? Ich habe das bisher so verstanden, dass $\begin{eqnarray*} A^c = B_h(x) \end{eqnarray*}$ , und das habe ich natürlich nicht kapiert.

27.11.2008, 19:50

tmo

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Es ist zu zeigen $\begin{eqnarray*} B_h(x) \subseteq A^c \end{eqnarray*}$ . Dazu zeigt man $\begin{eqnarray*} A \cap B_h(x) = \emptyset \end{eqnarray*}$ .

Nicht mehr und nicht weniger. Wenn man sich das anschaulich klar machen will, sei dir gesagt, dass $\begin{eqnarray*} B_h(x) \end{eqnarray*}$ der Kreis mit dem Mittelpunkt x ist, der den Einheitskreis berührt (da der Rand aber nich dabei ist, gibt es also keinen gemeinsamen Punkt).

x ist übrigens beliebig aus $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ , aber fest.

27.11.2008, 19:52

Duedi

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Zitat:

Original von tmo
Es ist zu zeigen $\begin{eqnarray*} B_h(x) \subseteq A^c \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ eine Vereinigungsmenge von Mengen $\begin{eqnarray*} A_1, A_2, A_3, ... \end{eqnarray*}$ ist, genügt es dann, dass eine dieser Mengen offen ist, damit $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ offen ist?

27.11.2008, 19:53

tmo

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Nein, das genügt nicht. Dann wäre ja jede Menge offen, denn es ist $\begin{eqnarray*} M \cup \emptyset = M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ ist offen.

27.11.2008, 19:54

Duedi

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Warum muss ich das dann zeigen, um die Behauptung zu beweisen (inklusive des Sich-Nicht-Schneidens)?

27.11.2008, 19:54

tmo

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Wie ist denn Offenheit definiert?

27.11.2008, 19:58

Duedi

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Eine Menge ist offen, wenn sie sich als Vereinigung von offenen Kugeln darstellen lässt.

27.11.2008, 20:41

tmo

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Da ham wir den Salat. Ich bin von der Definition ausgegangen, dass jeder Punkt aus der Menge eine Umgebung hat, die Teilmenge der Menge ist.

Aber man kann leicht zeigen, dass die äquivalent sind.

27.11.2008, 20:47

Duedi

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Ist das wiederum nicht die Definition des offenen Kerns einer Menge? Sry, bin grad extrem verwirrt.

27.11.2008, 21:45

Duedi

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Habe aufgrund der vorangegangenen Überlegungen einen Ansatz entwickelt: Ich definiere $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ einfach als die Vereinigungsmenge der offenen Kreise mit Radius 1, für dessen Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} x_M(x_{M_1},x_{M_2}) \end{eqnarray*}$ folgende Bedingung gilt: $\begin{eqnarray*} x_{M_1}^2+x_{M_2}^2 \geq 2 \end{eqnarray*}$ . Ist das Möglich?

EDIT: Zur Erläuterung: Das sind die Kreise, die den Einheitskreis von außen berühren und die, die noch weiter außen liegen

27.11.2008, 22:23

Mathespezialschüler

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Zeige: Für jedes $\begin{eqnarray*} x\in A^C \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} h_x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B_{h_x}(x)\subset A^C \end{eqnarray*}$ . Dann hast du in tmo's Sinne gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ offen ist. Daraus ergibt sich die Offenheit von $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ in deinem Sinne einfach durch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} A^C=\bigcup_{x\in A^C}~B_{h_x}(x) \end{eqnarray*}$ .

27.11.2008, 22:29

Duedi

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danke euch beiden Freude

Freude

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