Nilpotente Matrix

27.11.2008, 18:41	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotente Matrix Hallo! Bei folgendem Beispiel komme ich nicht weiter: "Eine Matrix $\begin{eqnarray} A \in M(n \times n; \mathbb R) \end{eqnarray}$ sei nilpotent vom Index k. Man zeige: i) A ist singulär ii) $\begin{eqnarray} (E_n - A)^{-1} = E_n + A + A^2+ ... + A^{k-1} \end{eqnarray}$ Ich weiß, was nilpotent ist: Eine Potenz der quadratischen Matrix A ergibt die Nullmatrix. zu i) Wenn A singulär ist, dann muss sie eine Nullzeile- oder Nullspalten besitzen. Und durch Matrizenmultiplikationen entsteht so irgendwann eine Nullmatrize, oder? zu ii) Habe ich keinen Ansatz. Weiß jemand etwas dazu? mfg
27.11.2008, 18:45	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Matrix 1. A ist entweder singulär oder regulär. Nimm an sie sei regulär. Welche Vektoren liegen dann im Kern? Bilde einen Widerspruch mit Nilpotent. 2. Was soll denn gezeigt werden? Dass die Matrix (E-A) Invertierbar ist und ihre Inverse ist angegeben. Würde vermuten, einfach nachrechnen.
27.11.2008, 19:19	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Matrix Danke für die Antwort! @1) Kann ich sagen: Angenommen A ist regulär, dann ist im Kern von A nur der Nullvektor. Aber wie führe ich das jetzt formal zu einen Widerspruch? @2) Wie rechne ich das aus? mfg
27.11.2008, 19:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Matrix 1. Ja, dass kannst du sagen. Was ist denn dann im Kern von A², A^n? 2. Naja, zeige eben (allgemein gesprochen) : M^{-1}M=E
27.11.2008, 19:52	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Matrix Zu 1) Im Kern ist dann natürlich auch nur der Nullvektor -> potenziert man eine reguläre Matrize, dann ist das Ergebnis wieder eine reguläre Matrix. Aber heißt das dann, dass eine singuläre Matrize mit einer gewissen Hochzahl potenziert die Nullmatrix ergibt? Zu 2) Da habe ich die Lösung: Ich habe die Gleichung mit $\begin{eqnarray} (E_n - A) \end{eqnarray}$ multipliziert. Auf der linken Seite erhält man die Einheitsmatrix. Auf der rechten Seite kürzt sich alles weg bis auf die Einheitsmatrix und $\begin{eqnarray} A^k \end{eqnarray}$ . Da aber $\begin{eqnarray} A^k \end{eqnarray}$ die Nullmatrix ist, bleibt auch auf der rechten Seite nur mehr die Einheitsmatrix über. mfg
27.11.2008, 20:09	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Matrix zu 1) die Bausteine hast du nun. Nun bastel mal was sinnvolles draus. zu 2) war doch gar nicht so schwer, oder?
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27.11.2008, 21:19	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Matrix Zu 1) Wie zeige ich das formal? So: Sei A regulär -> Kern(A) = Nullvektor $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a_{1_1} & a_{1_2} & ... & a_{1_n} \\ a_{2_1} & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n_1} & ... & ... & a_{n_n} \\ \end{pmatrix}^2 \end{eqnarray}$ Wobei keine Zeile/Spalte eine Nullzeile/spalte sein darf. Wenn man das multipliziert (das ich jetzt nicht anschreibe), sieht man, dass wieder keine Nullzeile/spalte ensteht und deswegen sind reguläre nicht nilpotent. Daraus folgt, dass singuläre Matrizen nilpotent sind. mfg
27.11.2008, 21:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Matrix Nein, eine singuläre Matrix kann doch auch voll besetzt sein. Damit zu argumentieren ist heikel. Sei A eine nilpotente Matrix, d.h. es gibt ein natürliches n mit A^n = 0, also die Nullmatrix. Angenommen A ist regulär. Dann ist nur der Nullvektor im Kern von A und $\begin{eqnarray} A^nv \neq 0 \end{eqnarray}$ , somit wäre A nicht nilpotent. Somit muss A singulät sein.

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