Grenzwert einer Folge / Grenzwertsätze

27.11.2008, 19:58

Svenja1986

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Grenzwert einer Folge / Grenzwertsätze

Wink

Es sein $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ gegeben durch

$\begin{eqnarray*} a_n := \sqrt{n} \cdot (^n\sqrt{n} -1 ) \end{eqnarray*}$

(a) Erläutern Sie, warum für die Bestimmung des Grenzwertes der Folge keiner der Grenzwertsätze angewendet werden kann!

(b) Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \lim a_n = 0 \end{eqnarray*}$ gilt!

Also, irgendwie weiß ich überhaupt nicht, wie ich da ran gehen soll unglücklich

unglücklich

Die Grenzwertsätze sind ja:

$\begin{eqnarray*} \lim(a_n + b_n) = lim {a_n} + lim b_n = a+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim(a_n - b_n) = lim a_n - lim b_n = a-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim(a_n \cdot b_n) = lim a_n \cdot lim b_n = a \cdot b \end{eqnarray*}$

Aber warum kann die hier nicht anwenden? verwirrt

verwirrt

27.11.2008, 20:37

system-agent

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Welchen Grenzwertsätz könntest du denn anwenden wollen? Was steht dann noch in den Voraussetzungen des Satzes um es wirklich zu tun? [Hinweis: Der Satz fängt so an, wie "Sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ...". Betrachte $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=? \end{eqnarray*}$ ]

27.11.2008, 21:39

Svenja1986

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Anwenden wollen könnte ich den mit $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ und den mit $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ hat keinen Grenzwert. Geht gegen unendlich...

27.11.2008, 21:41

system-agent

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Genau, der Grenzwert ist keine reelle Zahl. Aber was steht denn in den Voraussetzungen der Grenzwertsätze was den Grenzwert deiner Folgen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ angeht?

27.11.2008, 21:46

Svenja1986

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Dass eine reelle Zahl a der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und eine reelle Zahl b der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ist.

Ok, verstanden smile

smile

Und wie gehe ich bei der (b) vor?

28.11.2008, 07:58

Svenja1986

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In den Hinweisen vom Prof steht was mit dem binomischen Lehrsatz verwirrt

verwirrt

Das bringt mich irgendwie nicht so wirklich weiter...

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28.11.2008, 08:50

klarsoweit

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Das ist auch etwas tüftelig. Wir setzen:

$\begin{eqnarray*} x := \sqrt n \cdot (\sqrt[n]{n} - 1) \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt n} + 1 = \sqrt[n]{n} \Leftrightarrow n = \left(1 + \frac{x}{\sqrt n} \right)^n \end{eqnarray*}$

Mit dem binomischen Lehrsatz folgt:

$\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{x}{\sqrt n} \right)^n = 1 + n \cdot \frac{x}{\sqrt n} + \frac 1 2 n(n-1) \cdot \frac{x^2}{n} + \frac 1 6 n(n-1)(n-2) \cdot \frac{x^3}{n \sqrt n} + Rest \end{eqnarray*}$

Da x positiv ist, ist auch der Rest positiv und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{x}{\sqrt n} \right)^n \geq 1 + \sqrt n \cdot x + \frac 1 2 (n-1) \cdot x^2 + \frac 1 6 (n-1)(n-2) \cdot \frac{x^3}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$

<==>

$\begin{eqnarray*} n - 1 \geq \sqrt n \cdot x + \frac 1 2 (n-1) \cdot x^2 + \frac 1 6 (n-1)(n-2) \cdot \frac{x^3}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$

Jetzt multipliziere die Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} \frac{6 \sqrt n}{(n-1)(n-2)} \end{eqnarray*}$ und laß dann n gegen unendlich gehen.

28.11.2008, 19:19

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wir setzen:

$\begin{eqnarray*} x := \sqrt n \cdot (\sqrt[n]{n} - 1) \end{eqnarray*}$

Ich denke, hier ist die Bemerkung angebracht, dass man besser $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ schreiben sollte. Das danach sieht schon sehr sehr komisch aus mit diesem "konstanten" $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Vor allem, wenn man dann $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen unendlich laufen lässt, ist das meiner Meinung nach sehr verwirrend.

28.11.2008, 21:34

Svenja1986

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Zitat:

Original von klarsoweit
Jetzt multipliziere die Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} \frac{6 \sqrt n}{(n-1)(n-2)} \end{eqnarray*}$ und laß dann n gegen unendlich gehen.

Das habe ich mal versucht und bin dann nach ein paar Umformungen auf diese Ungleichung gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{6\sqrt{n}}{(n-2)} \geq \frac{6xn}{(n-1)(n-2)} + \frac{3\sqrt{n}x^2}{(n-2)} + x^3 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?
Und jetzt n gegen unendlich laufen lassen? verwirrt

verwirrt

29.11.2008, 12:30

klarsoweit

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Ja. Beachte, daß das x (oder besser x_n, weil es irgendwie von n abhängig ist) positiv ist und somit jeder Summand der rechten Seite auch positiv ist. Wohin konvergiert die linke Seite. Wogegen muß also jeder Summand der rechten Seite konvergieren?

29.11.2008, 12:57

Svenja1986

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Wenn, ich hier jetzt nicht totalen Mist gerechnet habe, konvergiert die linke Seite gegen 1 und somit muss die rechte Seite gegen 0 konvergieren... smile

smile

29.11.2008, 13:07

klarsoweit

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Wenn die linke Seite gegen 1 konvergieren würde, warum sollte dann die rechte Seite gegen Null konvergieren? verwirrt

verwirrt

Also schau dir nochmal die Konvergenz der linken Seite an.

EDIT: ersten Satz korrigiert.

29.11.2008, 13:22

Svenja1986

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Habe doch geschrieben, dass die linke Seite gegen 1 konvergiert... verwirrt

verwirrt

29.11.2008, 13:28

klarsoweit

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Tippfehler von mir. Hammer

Hammer

Hab's oben korrigiert.

29.11.2008, 13:30

Svenja1986

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Ok, habe nochmal nachgerechnet.
Die linke Seite konvergiert gegen 0.

29.11.2008, 13:31

klarsoweit

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OK. Was folgt dann unter anderem für das x³ auf der rechten Seite?

29.11.2008, 21:21

Svenja1986

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Naja, die linke Seite konvergiert gegen 0.
Die rechte Seite ist kleiner gleich der linken Seite...
Das heißt die rechte Seite muss dann auch gegen 0 gehen.
x³ wird für positive Werte aber immer größer.
verwirrt

verwirrt

Irgendwie steh ich grad aufm Schlauch verwirrt

verwirrt

29.11.2008, 21:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von Svenja1986
x³ wird für positive Werte aber immer größer.

Woher willst du das denn wissen? Die rechte Seite konvergiert gegen Null. Da die 3 Summanden der rechten Seite positiv sind, muß also ... .

30.11.2008, 11:32

Svenja1986

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... die Folge gegen Null konvergieren.

30.11.2008, 12:13

klarsoweit

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... müssen auch die 3 Summanden gegen Null konvergieren. Insbesondere auch das x³.

30.11.2008, 12:20

Svenja1986

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Vielen Dank Tanzen

Tanzen

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