Monotonie

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27.11.2008, 22:27	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie Hallo habe folgende Aufgabe zu lösen. Habe auch schon eine Möglichkeit bin mir nur ziemlich unsicher, ob das stimmt.hier erst mal die Aufgabe: Zeige: Die Folge $\begin{eqnarray} ((1+1/n)^{n+1})_n \end{eqnarray}$ ist streng monoton fallend. Meine bisherige Lösung: Für eine streng monoton fallende Folge $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} b_{n+1}<b_n (n E N) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_n=(\frac{n+1}{n})^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_n=(1+1/n)^{n+1}=(1+1/n)a_n=\frac{n+1}{n}a_n \end{eqnarray}$ Wegen der Definition für streng monoton fallend gilt: $\begin{eqnarray} \frac{b_n}{b_{n-1}}<1 \end{eqnarray}$ oder? Also: $\begin{eqnarray} \frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{(\frac{n+1}{n})a_n}{(\frac{n}{n-1})^n}=\frac{(\frac{n+1}{n})(\frac{n+1}{n})^n}{(\frac{n}{n-1})^n}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n+1}}{(\frac{n}{n-1})^n}=(\frac{n+1}{n})(\frac {(n+1)(n-1)}{n^2})^n=\frac{n+1}{n}(1-\frac{1}{n^2})^n \end{eqnarray}$ (nach bernoulli) $\begin{eqnarray} \geq\frac{n+1}{n}(1-\frac{1}{n})=\frac{n+1}{n}(\frac{n-1}{n})=\frac{n^2-1}{n^2}<1 \end{eqnarray}$ Kann man das so zeigen? stimmt das? Würde mir echt sehr weiterhelfen! Danke!
27.11.2008, 22:47	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Schmeiß die Schritte mit dem $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ weg, die sind überflüssig. Und dann guck dir nochmal an, was du angeblich gezeigt hast. Du hast da stehen: $\begin{eqnarray} a\geq b<c \end{eqnarray}$ . Was bringt einem solch eine Ungleichung?
27.11.2008, 22:49	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
ok stimmt. kann ich also so nicht folgern. wie kann ich das dann sonst machen? Kann ich das überhaupt verwenden was ich gemacht habe?
27.11.2008, 22:53	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch mal, $\begin{eqnarray} \frac{b_{n-1}}{b_n} \end{eqnarray}$ so ähnlich umzuformen und Bernoulli anzuwenden. Bei $\begin{eqnarray} \frac{b_n}{b_{n-1}}<1 \end{eqnarray}$ bringt dir Bernoulli eh nicht so viel, weil in der Bernoulli-Ungleichung ein größergleich steht.
27.11.2008, 22:58	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
wie komme ich jetzt auf $\begin{eqnarray} \frac{b_{n-1}}{b_n} \end{eqnarray}$ und für was soll ich das abschätzen?
27.11.2008, 22:59	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Folge ist streng monoton fallend genau dann, wenn $\begin{eqnarray} b_{n-1}<b_n \end{eqnarray}$ gilt, also genau dann, wenn was für den Quotienten $\begin{eqnarray} \frac{b_n}{b_{n-1}} \end{eqnarray}$ gilt?
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27.11.2008, 23:11	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
in meiner definition steht $\begin{eqnarray} b_{n+1}<b_n \end{eqnarray}$ ist das falsch?? Hab das jetzt mal gemacht: $\begin{eqnarray} \frac{b_{b-1}}{b_n}=\frac{(\frac{n}{n-1})^n}{(\frac{n+1}{n})^{n+1}}=\frac{n}{n+1}(\frac{n^2}{n^2-1})^n=\frac{n}{n+1}(1-n)^n\geq \frac{n}{n+1}(1-n^2)=\frac{n-n^3}{n+1} \end{eqnarray}$
27.11.2008, 23:16	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich meinte $\begin{eqnarray} b_n<b_{n-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{b_{n-1}}{b_n} \end{eqnarray}$ . Hab irgendwie totalen Mist im letzten Beitrag geschrieben. Wie kommst du auf $\begin{eqnarray} \frac{n^2}{n^2-1}=1-n \end{eqnarray}$ ?
27.11.2008, 23:26	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ne stimmt das ist falsch da stimmt was nicht mom.
27.11.2008, 23:27	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
da hänge ich jetzt irgendwie! wie kann ich das umformen damit ich bernoulli benutzen darf?
27.11.2008, 23:31	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{n^2}{n^2-1}=\frac{n^2-1+1}{n^2-1}=\ldots \end{eqnarray}$ .
27.11.2008, 23:38	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
dann habe ich: $\begin{eqnarray} (\frac{n}{n+1})(1+\frac{1}{n^2-1})^n\geq(\frac{n}{n+1})(1+\frac{n}{n^2-1}) \end{eqnarray}$ stimmt das soweit?
27.11.2008, 23:48	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
wie mache ich dann weiter?
27.11.2008, 23:53	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, so kommt man nicht zum Ziel. Ich hatte nicht gesehen, dass du 'falsch' angefangen hattest. Beginne so: $\begin{eqnarray} \frac{b_{n-1}}{b_n}=\frac{n-1}{n}\cdot\left(\frac{n^2}{n^2-1}\right)^{n+1} \end{eqnarray}$ .
28.11.2008, 00:01	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt bin ich ein bisschen verwirrt. ist $\begin{eqnarray} b_{n-1}=(\frac{n}{n-1})^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_n=(\frac{n+1}{n})^{n+1} \end{eqnarray}$ oder ist das auch falsch?
28.11.2008, 00:04	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. $\begin{eqnarray} b_n=\left(\frac{n}{n-1}\right)^n=\frac{n-1}{n}\cdot\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n+1} \end{eqnarray}$ .
28.11.2008, 00:15	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{b_{n-1}}{b_n}=\frac{n-1}{n}\cdot\left(\frac{n^2}{n^2-1}\right)^{n+1}=(\frac{n-1}{n})(1+\frac{1}{n^2-1})^n\geq(\frac{n-1}{n})(1+\frac{n}{n^2-1})=\frac{n^3-2n+1}{n^3-1} \end{eqnarray}$ . stimmt das jetzt?
28.11.2008, 00:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast aus $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ im Exponenten auf einmal $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gemacht - warum?
28.11.2008, 00:28	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
und das ist dann >1 oder? also ist $\begin{eqnarray} \frac{b_{n-1}}{b_n}>1 \end{eqnarray}$ und das war das was ich beweisen wollte. also ist die folge streng monoton fallend. stimmt meine Folgerung nun?
28.11.2008, 00:31	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist es dann größer Eins? Ansonsten stimmt es.
28.11.2008, 00:34	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
das hab ich mich verschrieben und verechnet! $\begin{eqnarray} \frac{b_{n-1}}{b_n}=\frac{n-1}{n}\cdot\left(\frac{n^2}{n^2-1}\right)^{n+1}=(\frac{n-1}{n})(1+\frac{1}{n^2-1})^{n+1}\geq(\frac{n-1}{n})(1+\frac{n+1}{n^2-1})=\frac{n^3-n^2+n^2-n}{n^3-n}=1 \end{eqnarray}$ .so wäre es verbessert.
28.11.2008, 00:42	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
ich wollte doch beweisen dass es größer eins ist und bekommen gleich 1 heraus. passt das?
28.11.2008, 00:42	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist jetzt korrekt.
28.11.2008, 00:43	imag	Auf diesen Beitrag antworten »
nein ist ok. habs verstanden. ist schon spät!! danke für deine Hilfe!!!
28.11.2008, 00:44	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso bei dem $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ hast du sogar ein größer. Siehe Bernoulli-Ungleichung.

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