Isomorphismus Einheitengruppe

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axelt Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus Einheitengruppe
Hallo,
habe Aufgaben dieses Typs bisher noch nicht wirklich gelöst deshalb frag ich mal nach:

Ich soll zeigen, dass

(also die Einheitengruppe von Z modulo 10)

isomorph zu




Wie geht man sowas an, wenn die Zusammenhänge zwischen den beiden Tabelle nicht offensichtlich sind? Ich meine raten wäre doch wohl etwas mühselig ;-) Also jetzt erstmal um den Isomorphismus zu finden. Und nachweisen? Für alle Möglichkeiten einzeln zeigen wäre wohl auch etwas sinnlos ;-)

[attach]9263[/attach]
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt nur zwei Gruppen der Ordnung 4, die man mit Hilfe der Elemente auf der Hauptdiagonale unterscheiden kann.
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist als 'allgemeiner Typ' nur die Kleinsche Vierergruppe bekannt, der andere Fall wird dann wohl die linke sein. Aber wie ich den Isomorphismus dann definieren muss, weiss ich ja noch immer nicht :-/
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von axelt
Mir ist als 'allgemeiner Typ' nur die Kleinsche Vierergruppe bekannt

Aha, kennst du also nicht?!

Zitat:
Original von axeltAber wie ich den Isomorphismus dann definieren muss, weiss ich ja noch immer nicht :-/

Beide Gruppen sind zyklisch. Das sollte helfen.
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

edit: (...) War sinnlos. Werde mir gleich mal das mit zyklisch überlegen.
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

So... Ich denke ich hab das passende dazu gefunden:

1 -> 0
3 -> 1
9 -> 2
7 -> 3

Habe es mal rein intuitiv nach der höhe von n geordnet (n-te Potenz von 3). Dabei bräuchte ich jetzt einige Erklärungen.

1) Wir haben das mit den zyklischen Gruppen noch nicht gemacht. Gibts da irgendwelche Sätze oder ähnliches was ich wissen sollte?

2) Wenn ich 1^0 (mit 1 ist ein Restklassenelement) mache, kommt also auch die Restklassen 0 raus? Sowas hatten wir auch noch nicht erwähnt.

Und zu guter letzte: Wie prüfe ich jetzt nach das das ein Isomorphismus ist? Alles einzusetzen wäre wohl etwas mühselig, da gibts doch bestimmt eine einfachere Methode :-)
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zuordnung induziert einen Isomorphismus .
axelt Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry hatte das grad nachträglich noch geändert. Stimmt das jetzt so? Bitte nochmal auf die letzte Frage eingehen.
Danke sehr :-)

edit: Mittlerweile habe ich die (waren ja doch nur 6) Möglichkeiten mal durchgetestet, stimmt immer. Geht das trotzdem noch einfacher zu zeigen?

Und wie hätte man jetzt drauf kommen sollen?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von axelt
1) Wir haben das mit den zyklischen Gruppen noch nicht gemacht. Gibts da irgendwelche Sätze oder ähnliches was ich wissen sollte?

Ja, viel, aber nicht in LA. Dazu gibt's mehr in einer Vorlesung über Algebra. Deine Lösung stimmt. Wie man darauf kommt, habe ich im Prinzip schon gesagt. Man bildet einen Erzeuger der einen zyklischen Gruppe auf einen Erzeuger der anderen ab.
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