Nilpotente Matrix

28.11.2008, 15:42

Fabian06

Nilpotente Matrix

Hallo miteinander!

Ich habe hier zwei kurze Aufgaben:

Ich soll zeigen, dass
a) 0 ein Eigenwert einer nilpotenten Matrix (A E M(n x n; R) ) ist
und
b) o der einzige Eigenwert von A ist.

Nun, ich habe bis jetzt folgendes:
Die Matrix A hat das charakteristische Polynom : $\begin{eqnarray*} x_A(\lambda) = det(\lambdaE - A) = \lambda^n \end{eqnarray*}$ . Ihre Nullstellen sind die Eigenwerte. Das charakteristische Polynom hat genau einen Eigenwert, nämlich 0. Daraus folgt, dass auch die Matrix A nur einen Eigenwert hat, nämlich ebenfalls 0.

...eigentlich wäre das ja nun die Lösung zu b), aber damit zeigt man ja eigentlich auch a) :-S

Muss man a) und b) auf eine andere Weise zeigen?
Wenn jemand eine Idee hätte, wäre ich sehr dankbar!
Schönen Tag allerseits!

28.11.2008, 16:58

Reksilat

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RE: Nilpotente Matrix

Zitat:

Die Matrix A hat das charakteristische Polynom : $\begin{eqnarray*} x_A(\lambda) = det(\lambda E - A) = \lambda^n \end{eqnarray*}$ . Ihre Nullstellen sind die Eigenwerte. Das charakteristische Polynom hat genau einen Eigenwert, nämlich 0. Daraus folgt, dass auch die Matrix A nur einen Eigenwert hat, nämlich ebenfalls 0.

...eigentlich wäre das ja nun die Lösung zu b), aber damit zeigt man ja eigentlich auch a) :-S

Damit man auch sieht was Du geschrieben hast. VORSCHAU VERWENDEN!

Wie Du auf dieses charakteristische Polynom kommst wäre jetzt noch eine Frage, aber sonst ist das OK.

Klugscheißer: Das charakteristische Polynom hat keine Eigenwerte, sondern höchstens Nullstellen. Lehrer

29.11.2008, 14:16

Fabian06

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RE: Nilpotente Matrix
Ich habe die Herleitung mit den Äquivalenzsätzen gemacht:
- Lambda ist ein Eigenwert
<--> Es gibt ein x Element K^n, x nicht 0, mit Ax = (Lambda)x
<--> Es gibt ein x Element K^n, x nicht 0, mit ((Lambda)E - A)x = 0
<--> (Lambda)E - A ist nicht invertierbar
<--> det((Lambda)E - A) = 0
<--> Lambda ist Nullstelle des charalteristischen Polynoms von A.

Ist das möglich so?

Frage: Ist die Frage evtl. auch so gedacht, dass man bei b) z.B. einen Beweis durch Widerspruch machen muss?
Wie wäre da der Ansatz?

Vielen Dank!

29.11.2008, 14:29

Reksilat

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RE: Nilpotente Matrix
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist Eigenwert $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist Nullstelle des char. Polynoms
ist ja klar. Meine Frage war aber, wie Du auf das char. Polynom $\begin{eqnarray*} x_A(\lambda)=\lambda^n \end{eqnarray*}$ kommst. Der Rest ist dann nachvollziehbar, aber woher kommt dieses Polynom?

Zitat:

dass man bei b) z.B. einen Beweis durch Widerspruch machen muss?

Ein Beweisverfahren wird im allgemeinen nicht vorgeschrieben. Hauptsache der Beweis ist korrekt.

Nimm für einen Widerspruchsbeweis an, dass $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert ist, $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ der zugehörige Eigenvektor und somit $\begin{eqnarray*} Av=av \end{eqnarray*}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray*} A^nv \end{eqnarray*}$ ?

29.11.2008, 15:38

Fabian06

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RE: Nilpotente Matrix
Okey, neinein, wenn das schon reicht, dann belassen wir es dabei smile

Wie ich auf dieses charakteristische Polynom komme...hmm...gute Frage smile

Ehrlich gesagt, habe ich das in meinen Notizen gelesen, jedoch ohne Beweis..und ich wüsste auch nicht genau, wie ich das beweisen sollte :-S

29.11.2008, 15:48

Reksilat

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RE: Nilpotente Matrix
Wenn in Deinen Notizen steht, dass das das charakteristische Polynom ist, dann ist es ja gut. Der Beweis ist aber trotzdem schnell gemacht:

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} A^k=0 \end{eqnarray*}$ für ein k und somit ist das Minimalpolynom ein Teiler von $\begin{eqnarray*} \lambda^k \end{eqnarray*}$ . Da das char. Polynom aber die gleichen Nullstellen wie das Minimalpolynom hat, kommt für $\begin{eqnarray*} x_A(\lambda) \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} \lambda^n \end{eqnarray*}$ in Frage.

29.11.2008, 15:57

Fabian06

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RE: Nilpotente Matrix
Vielen Dank!
..trotzdem, dein Beweis kommt jetzt zu den Notizen...gehört doch einfach dazu sowas smile

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