Partialsummenfolge beweisen

28.11.2008, 16:46

barthcar

Partialsummenfolge beweisen

Hi Leute,

also ich hab folgende Aufgabe:

Berechnen Sie die ersten vier Glieder der Partialsummenfolge. Stellen sie eine Formel für die n-te Partialsumme auf und beweisen sie diese Formel. Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert und berechnen sie den Grenzwert!

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(-1)^{k+1}\frac{2k+1}{k(k+1)} \end{eqnarray*}$

Für die vier ersten Glieder kommt raus:

$\begin{eqnarray*} s_1=\frac{3}{2}; \quad s_2=\frac{2}{3}; \quad s_3=\frac{5}{4}; \quad s_4=\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

Und dann habe ich durch überlegen diese Partialsummenfolge erhalten:

$\begin{eqnarray*} s_n=\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}+1 \end{eqnarray*}$

1. Frage) Wie beweise ich jetzt diese Folge?

2. Frage) Ich habe jetzt als Grenzwert dieser Folge 1 erhalten. Ist das auch der Grenzwert (die Summe) der Reihe und habe ich damit die Konvergenz schon bewiesen?

Danke euch...

Carlo

28.11.2008, 16:58

saz

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Also ich würde versuchen für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k\cdot(k+1)} \end{eqnarray*}$ eine Partialbruchzerlegung durchzuführen. Dann kürzt sich nach meinen Rechnungen einiges weg.
Wenn du dann statt bei der Summe gleich bis unendlich aufzuaddieren einfach erstmal ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ als Obergrenze nimmst und dann ein bisschen mit den verbleibenden Summen "rumspielst", solltest du auf jeden Fall den Grenzwert beweisen können.
Aber keine Ahnung, vllt. gibt es auch einen einfacheren Weg ...

28.11.2008, 17:05

marci_

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ich hab ohne dass ich da jetzt nachgerechnet habe, aber eine vollständige induktion bietet sich bei sowas doch immer gut an?

zu deiner 2. frage: du kannst so nicht argumentieren!
betrachte: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac {1}{k} \end{eqnarray*}$ diese reihe divergiert, und was macht deine folge $\begin{eqnarray*} a_k=\frac {1}{k} \end{eqnarray*}$ sie konvergiert

28.11.2008, 17:25

barthcar

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Zu dir Marci:

Also ich betrachte hier aber nicht die Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ sondern die Partialsummenfolge
$\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ . Und im Bronstein steht:

Man spricht von einer konvergenten Reihe, wenn die Folge der Partialsummen $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ konvergiert. Denn Grenzwert der Folge nennt man auch Summe der Reihe.

Ist das also nun richtig?

Und zu 1) Wie muss ich denn da ansetzten für die vollständige Induktion?

(Zu saz: Leider kann ich dir nicht wirklich folgen. Ich will doch nicht den Grenzwert beweisen, sondern die Richtigkeit der Partialsummenfolge! Du müsstest das also noch etwas präzisieren)

Danke

Carlo

28.11.2008, 17:46

saz

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Ich dachte du wolltest den Grenzwert der Partialsummenfolgen beweisen/berechnen...? (Ich meinte nicht den Grenzwert der Folge, war vllt. etwas missverständlich.)

Letztlich läuft mein Ansatz wie gesagt darauf hinaus, dass du die Partialbruchzerlegung anwendest, um den Bruch entsprechend zu vereinfachen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k \cdot (k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$
Das ist wie gesagt einfach die Partialbruchzerlegung, kann man auch ziemlich einfach herleiten.

Dementsprechend kannst du dann sagen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} (2k+1) \cdot (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} (\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1}) \end{eqnarray*}$

Da die Summen noch endlich sind und assoziativgesetz gilt, kann man das nun auseinandernehmen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} (\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1}) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{1}{k} + \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{1}{k} + \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{1}{k+1} = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{1}{k} - \sum_{k=2}^{n+1} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} = (-1)^2 \cdot 1 - (-1)^{n+2} \frac{1}{n+1} \to 1 \end{eqnarray*}$

28.11.2008, 19:24

barthcar

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An saz:

Also nichts für ungut ich danke dir für deine Bemühungen. Es ist sehr gut wie du den Grenzwert auf diese Art bewiesen hast.
Allerdings scheinst du entweder die Aufgabenstellung nicht zu verstehen, oder ich scheine irgendwas nicht zu verstehen. Nochmal:
Stellen sie eine Formel für die n-te Partialsumme auf und beweisen sie diese Formel.

Du sollst also nicht den Grenzwert beweisen, sondern dass die Formel für die Partielsummenfolge richtig ist!!!!

Wenn du das damit bewiesen hast, dann verstehe ich es nicht! Nur weil der Grenzwert der Reihe mit dem Grenzwert der Partialsummenfolge übereinstimmt, muss die Partialsummenfolge ja noch lange nicht stimmen, oder?

Danke dir,

Carlo

28.11.2008, 20:06

saz

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Verstehe ich nicht ganz. Du schriebst doch oben "Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert und berechnen sie den Grenzwert!" ... und genau das habe ich doch gezeigt. Oder hattest du das selbst schon gemacht...?

Nebenbei ist dies ausgerechnte Summe auch die n-te Partialsumme. Wenn du z.B. n=4 setzt, erhälst du $\begin{eqnarray*} s_4 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \end{eqnarray*}$ . Das hattest du doch oben auch. (Und durch die entsprechende Herleitung hat man diese Formel ja bewiesen.)

Zitat:

Nur weil der Grenzwert der Reihe mit dem Grenzwert der Partialsummenfolge übereinstimmt [...]

Eine Reihe ist doch gerade als Folge der Partialsummen definiert...?

Aber vielleicht verstehe ich es tatsächlich auch falsch, bin ja erst 1. Semester ;-) ...

28.11.2008, 20:23

barthcar

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Also das Problem ist hier sicherlich nicht dein mangelndes Wissen. Du hast die Aufgabe mit deinem Beweis natürlich gelöst.
Allerdings bezieht sich deine Antwort auf die Aufgabenstellung, und nicht auf meine Fragen. Diese wahren ja:

1. Frage) Wie beweise ich jetzt diese Folge?

2. Frage) Ich habe jetzt als Grenzwert dieser Folge 1 erhalten. Ist das auch der Grenzwert (die Summe) der Reihe und habe ich damit die Konvergenz schon bewiesen?

Ich habe die Partialsummenfolge ja schon gefunden und den Grenzwert berechnet und damit auch die Konvergenz bewiesen!! Jetzt soll aber diese von mir aufgestellte Folge bewiesen werden.

Verstehst du das?

Danke dir trotzdem...

Carlo

28.11.2008, 20:37

saz

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Okay, dann habe ich dich missverstanden. Dumme Frage: Wieso nimmst du denn nicht einfach die Partialsummenfolge, die ich ausgerechnet habe? Da hast du doch gleich den Beweis ;-) ...

Zu deiner zweiten Frage: Wie gesagt ist eine Reihe ja als Folge der Partialsummen definiert. Wenn du also eine (Partialsummen)Folge hast, die äquivalent zu deiner Reihe ist, dann ist der Grenzwert der Partialsummenfolge auch der Grenzwert der Reihe. (Und damit auch konvergent, wenn die Folge konvergiert.)

29.11.2008, 16:27

barthcar

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RE: Partialsummenfolge beweisen
Hi Leute,

da meine Frage leider nicht beantwortet ist wollte ich doch nochmal aufraufen ob jemand anderes etwas dazu schreiben kann!

Ansage

Danke euch...

Carlo

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Partialsummenfolge beweisen

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