komplexe Zahlenebene

28.11.2008, 20:42

belllaaa

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komplexe Zahlenebene

Wink

Wie kann ich denn diese Gleichung lösen und in komplexer Zahlenebene darstellen $\begin{eqnarray*} z^{4} \end{eqnarray*}$ +2 $\begin{eqnarray*} z^{2} \end{eqnarray*}$ +1=0

Ich könnte ja diese Gleichung als Binomische Formel aufschreiben,aber dann wüsste ich auch nicht weiter verwirrt

verwirrt

28.11.2008, 22:28

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Zitat:

Original von belllaaa
Ich könnte ja diese Gleichung als Binomische Formel aufschreiben

Dann tu es doch - das ist schließlich eine erhebliche Vereinfachung!

30.11.2008, 11:58

Svenja1986

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Wie würde man dann weitermachen?
Also, allgemein? Man hat ja dann z hoch irgendwas in der Klammer und die Klammer dann nochmal hoch irgendwas und das ganze gleich null.

Muss man das dann irgendwie umstellen? Einfach das in der Klammer 0 setzen und dann halt nach z hoch irgendwas umstellen?

30.11.2008, 20:24

Raumpfleger

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Nicht verstanden, wo das Problem jetzt ist: Wenn die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^4 + 2 z^2 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$ heissen sollte, dann würde man doch $\begin{eqnarray*} w=z^2 \end{eqnarray*}$ substituieren, bei dieser Gelegenheit auf "quadratische Gleichung in w" erkennen, letztere mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen lösen und dann mit dem bekannten w das z ermitteln. Wär' das nicht so? Zum Schluss sucht man die Punkte in der komplexen Zahlenebene auf.

01.12.2008, 18:59

Svenja1986

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Wie viele Lösungen hätte die Gleichung dann?
Ich habe 2.

02.12.2008, 07:20

Raumpfleger

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Nein, nicht 2, eine algebraische Gleichung 4. Ordnung (das ist die Ordnung in z) hat immer 4 komplexe Lösungen, das ist der Fundamentalsatz der Algebra. Wie sieht es unter Benutzung einer Substitution aus? Die quadratische Gleichung in w hat 2 Lösungen, die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} z^2 = w \end{eqnarray*}$ hat auch zwei Lösungen und $\begin{eqnarray*} 2*2 = 4 \end{eqnarray*}$ .

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02.12.2008, 10:31

Svenja1986

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Zitat:

Original von Raumpfleger
Wie sieht es unter Benutzung einer Substitution aus?

$\begin{eqnarray*} w^2 + w +1 = 0 \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt, weiß ich halt gar nicht, wie ich damit umgehen soll.
Bis jetzt hatten wir immer Gleichungen der Art $\begin{eqnarray*} z^n = a + bi \end{eqnarray*}$

Oder kann man $\begin{eqnarray*} w^2 + w +1 = 0 \end{eqnarray*}$ dann einfach umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} w^2 = -1 -w \end{eqnarray*}$ ?

Und a wäre dann -1 und b auch -1? verwirrt

verwirrt

02.12.2008, 10:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Svenja1986
Oder kann man $\begin{eqnarray*} w^2 + w +1 = 0 \end{eqnarray*}$ dann einfach umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} w^2 = -1 -w \end{eqnarray*}$ ?

Und a wäre dann -1 und b auch -1? verwirrt

verwirrt

Unfug.

unglücklich

Das w auf der rechten Seite ist eine Variable.

Was hat man denn in der Schule gemacht, wenn es um quadratische Gleichungen ging? Neben der pq-Formel gab es auch die Methode mit der quadratischen Ergänzung.

02.12.2008, 10:55

Svenja1986

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Zitat:

Original von klarsoweit
Neben der pq-Formel gab es auch die Methode mit der quadratischen Ergänzung.

Irgendwie kann ich mich an diese Methode nicht mehr erinnern, aber ich habe mal im Internet nachgeschaut.

Bin mir da aber irgendwie nicht so sicher:

$\begin{eqnarray*} w^2 + w + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w^2 + w = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w^2 + w + \frac{1}{4}= -1 + \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

So z. B. ? verwirrt

verwirrt

02.12.2008, 11:19

klarsoweit

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Ja. Links hast du jetzt eine binomische Formel.

02.12.2008, 11:20

Svenja1986

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$\begin{eqnarray*} w^2 + w + \frac{1}{4}= -1 + \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (w + \frac{1}{2})^2= - \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Und wie mache ich jetzt weiter?

02.12.2008, 11:58

klarsoweit

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Du könntest $\begin{eqnarray*} z = w + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ setzen und die Gleichung lösen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.12.2008, 13:06

Svenja1986

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Gut dann hätte ich also:

$\begin{eqnarray*} z^2 = -\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Somit wäre a= $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ , b = 0 und $\begin{eqnarray*} \varphi = \pi \end{eqnarray*}$ und r = $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{3}{4}} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} z_0 = \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot e^{\frac{\pi}{2}i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot e^{\pi i} \end{eqnarray*}$

Vermutlich sind dann die anderen beiden Lösungen:

$\begin{eqnarray*} z_2 = \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot e^{\frac{3\pi}{2}i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_3 = \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot e^{i} \end{eqnarray*}$

Aber wie würde man darauf kommen? smile

smile

02.12.2008, 13:18

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Irgendwie habe ich verpasst, wo im Verlauf dieses Threads die Gleichung geändert wurde - aber im Originalposting war von $\begin{eqnarray*} 0 = z^4+2z^2+1 = (z^2+1)^2 \end{eqnarray*}$ die Rede. Wollte ich nur mal noch angemerkt wissen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.12.2008, 13:20

mYthos

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Bevor ihr da weiter in die Irre geht: Hat die Gleichung nicht ursprünglich

$\begin{eqnarray*} w^2 +2w + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

gelautet?? (Sh. Angabe!) Das zerlegt man dann besser einfach nach einer binomischen Formel.

mY+

02.12.2008, 13:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Irgendwie habe ich verpasst, wo im Verlauf dieses Threads die Gleichung geändert wurde - aber im Originalposting war von $\begin{eqnarray*} 0 = z^4+2z^2+1 = (z^2+1)^2 \end{eqnarray*}$ die Rede.

Das kommt davon, wenn man sich nicht nochmal alles von vorne durchliest. Hammer

Hammer

Also wir sollten uns jetzt auf den Stand, den Arthur Dent gepostet hat, einigen.

02.12.2008, 14:23

Svenja1986

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Ok.
Aber was ich vorhin gemacht habe, ist ja auch nicht falsch, oder doch?

$\begin{eqnarray*} (z^2 + 1)^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2 = -1 \end{eqnarray*}$

a = -1, b = 0, r=1, $\begin{eqnarray*} \varphi = \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_0 = e^{\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = e^{\frac{3\pi}{2}} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich dann noch auf die beiden anderen Ergebnisse?

02.12.2008, 14:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Svenja1986
Aber was ich vorhin gemacht habe, ist ja auch nicht falsch, oder doch?

Nun ja, ich frage mich, wie du aus einer quadratischen Gleichung 4 Lösungen quetschen kannst. verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Svenja1986
Wie komme ich dann noch auf die beiden anderen Ergebnisse?

Welchen anderen beiden Ergebnisse?

Im übrigen kannst du deine Lösungen auch anders schreiben: z_0 = i und z_1 = -i. smile

smile

02.12.2008, 14:34

Svenja1986

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Zitat:

Original von klarsoweit
Im übrigen kannst du deine Lösungen auch anders schreiben: z_0 = i und z_1 = -i. smile

smile

Stimmt

Augenzwinkern

Danke.

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